Aryabhata

1.1. Tên gọi

Mặc dù có xu hướng viết sai tên ông là "Aryabhatta" do sự tương tự với các tên khác có hậu tố "bhatta^Sanskrit", nhưng tên chính xác của ông là Aryabhata. Tất cả các văn bản thiên văn học đều viết tên ông như vậy, bao gồm cả những tài liệu của Brahmagupta đề cập đến ông "ở hơn một trăm chỗ bằng tên". Hơn nữa, trong hầu hết các trường hợp, "Aryabhatta" cũng không phù hợp với nhịp điệu thơ. Hậu tố tiếng Phạn "bhaṭa^Sanskrit" có nghĩa là "người được thuê bằng vàng, lính đánh thuê", trong khi "bhaṭṭa^Sanskrit" có nghĩa là "người có học, học giả". Do đó, "Āryabhaṭṭa^Sanskrit" mang ý nghĩa tôn trọng hơn, nhưng các văn bản tiền hiện đại như của Varahamihira, Bhaskara I và Brahmagupta đều nhất quán dùng "Āryabhaṭa^Sanskrit". Vì vậy, cách viết "Āryabhaṭṭa^Sanskrit" bị nghi ngờ về tính chính xác.

1.2. Thời gian và nơi sinh

Trong tác phẩm Āryabhaṭīya, Aryabhata có đề cập rằng ông 23 tuổi vào năm thứ 3600 của Kali Yuga. Năm này tương ứng với năm 499 CN, ngụ ý rằng ông sinh vào năm 476 CN. Aryabhata tự nhận mình là người gốc Kusumapura, tức Pataliputra (ngày nay là Patna, Bihar) ở miền trung Ấn Độ.

1.3. Giáo dục và nền tảng học vấn

Có vẻ khá chắc chắn rằng, tại một thời điểm nào đó, Aryabhata đã đến Kusumapura để học cao hơn và sống ở đó một thời gian. Cả truyền thống Hindu và Phật giáo, cũng như Bhaskara I (năm 629 CN), đều xác định Kusumapura là Pataliputra, tức Patna hiện đại. Một câu thơ đề cập rằng Aryabhata là người đứng đầu một tổ chức (kulapa^Sanskrit) tại Kusumapura, và vì Đại học Nalanda nằm ở Pataliputra vào thời điểm đó và có một đài thiên văn, người ta suy đoán rằng Aryabhata có thể là người đứng đầu Đại học Nalanda. Aryabhata cũng được cho là đã thành lập một đài thiên văn tại đền Mặt Trời ở Taregana, Bihar.

1.4. Bối cảnh lịch sử

Aryabhata hoạt động vào khoảng năm 500 CN, dưới triều đại Đế quốc Gupta. Trong thời kỳ Gupta, chịu ảnh hưởng từ các nền văn hóa phương Tây, thiên văn học và toán học thời Veda đã được phục hồi. Từ thế kỷ 5 đến thế kỷ 10, các trung tâm nghiên cứu toán học Ấn Độ tập trung ở Kusumapura, Ujjain và Mysore, trong đó Aryabhata đã có những đóng góp lớn tại Kusumapura. Kusumapura là thủ đô của Đế quốc Gupta, tức Patna, Bihar ngày nay, nơi có Đại học Nalanda phát triển rực rỡ vào thế kỷ 5 và 6. Đại học Nalanda có một đài thiên văn lớn, và Aryabhata được cho là hiệu trưởng của ngôi trường này.

Một trong những vị vua của Đế quốc Gupta sau này là Budhagupta, người được Huyền Trang nhắc đến trong Đại Đường Tây Vực Ký quyển 9 dưới tên "Phật Đà Cầu Đa". Niên đại trị vì muộn nhất của Budhagupta được xác nhận qua các đồng tiền đúc là năm 494 CN, và các tài liệu lịch sử khác của Gupta gần nhất là năm 510 CN. Vì Aryabhata đã viết Āryabhaṭīya vào năm 499 CN, nên có thể suy đoán rằng ông hoạt động tại Kusumapura dưới thời trị vì của Budhagupta. Lịch sử của triều đại Gupta sau này còn nhiều điểm chưa rõ ràng, nhưng rõ ràng là nó đã suy yếu hoặc phân liệt. Tuy nhiên, dựa trên các bằng chứng như bia đá ở Eran, bản khắc đồng ở Damodarpur và bia khắc Phật ở Mathura, phạm vi lãnh thổ của Đế quốc Gupta dưới thời Budhagupta đã được phục hồi, kéo dài từ Bắc Bengal ở phía đông, vùng Malwa ở phía tây, đến Kannauj ở phía bắc, và tiếp giáp với Vakataka ở phía nam, gần lưu vực sông Narmada.

Do đó, Ashmaka ở Cao nguyên Deccan vào thời điểm đó nằm ngoài lãnh thổ Gupta, và Aryabhata được cho là đã vượt sông Godavari và Narmada để đến Kusumapura. Lý do có nhiều khả năng nhất được đưa ra là Aryabhata đã được Budhagupta mời từ Ashmaka đến làm hiệu trưởng Đại học Nalanda. Đại học Nalanda là một trong những tổ chức giáo dục cổ đại của Ấn Độ, có trình độ trí tuệ rất cao vào thời điểm đó. Triều đại Gupta và Vakataka đã thiết lập liên minh thông qua hôn nhân, duy trì mối quan hệ tốt đẹp.

2.1. Āryabhaṭīya

Các chi tiết trực tiếp về công trình của Aryabhata chỉ được biết từ Āryabhaṭīya. Tên "Āryabhaṭīya" là do các nhà bình luận sau này đặt. Bản thân Aryabhata có thể đã không đặt tên cho nó. Học trò của ông, Bhaskara I, gọi nó là Ashmakatantra (hay luận thuyết từ Ashmaka). Nó cũng thỉnh thoảng được gọi là Arya-shatas-aShTa (nghĩa đen là 108 của Aryabhata), vì có 108 câu thơ trong văn bản. Nó được viết theo phong cách rất cô đọng, điển hình của văn học sutra, trong đó mỗi dòng là một công cụ hỗ trợ trí nhớ cho một hệ thống phức tạp. Do đó, việc giải thích ý nghĩa là do các nhà bình luận. Văn bản bao gồm 108 câu thơ và 13 câu thơ giới thiệu, và được chia thành bốn pāda^Sanskrit hoặc chương:

• Gitikapada^Sanskrit: (13 câu thơ): các đơn vị thời gian lớn-kalpa^Sanskrit, manvantra^Sanskrit, và yuga^Sanskrit-trình bày một vũ trụ học khác với các văn bản trước đó như Vedanga Jyotisha của Lagadha (khoảng thế kỷ 1 TCN). Ngoài ra còn có một bảng sin (jya^Sanskrit), được đưa ra trong một câu thơ duy nhất. Thời gian của các vòng quay hành tinh trong một mahayuga được cho là 4,32 triệu năm.
• Ganitapada^Sanskrit (33 câu thơ): bao gồm đo lường học (kṣetra vyāvahāra^Sanskrit), cấp số cộng và cấp số nhân, gnomon / bóng (shanku^Sanskrit-chhAyA^Sanskrit), phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, hệ phương trình và phương trình bất định (kuṭṭaka^Sanskrit).
• Kalakriyapada^Sanskrit (25 câu thơ): các đơn vị thời gian khác nhau và một phương pháp để xác định vị trí của các hành tinh cho một ngày cụ thể, các phép tính liên quan đến tháng nhuận (adhikamAsa^Sanskrit), kShaya-tithi^Sanskrit và một tuần bảy ngày với tên gọi cho các ngày trong tuần.
• Golapada^Sanskrit (50 câu thơ): Các khía cạnh hình học/lượng giác của thiên cầu, các đặc điểm của hoàng đạo, xích đạo thiên cầu, giao điểm quỹ đạo, hình dạng của Trái Đất, nguyên nhân ngày và đêm, sự mọc của các cung hoàng đạo trên đường chân trời, v.v. Ngoài ra, một số phiên bản còn trích dẫn một vài lời bạt được thêm vào cuối, ca ngợi những giá trị của tác phẩm.

Āryabhaṭīya đã trình bày một số đổi mới trong toán học và thiên văn học dưới dạng thơ, có ảnh hưởng trong nhiều thế kỷ. Sự ngắn gọn cực kỳ của văn bản đã được giải thích chi tiết trong các bản chú giải của học trò ông là Bhaskara I (Bhashya, khoảng năm 600 CN) và của Nilakantha Somayaji trong Aryabhatiya Bhasya (1465 CN).

Āryabhaṭīya cũng nổi tiếng với mô tả về tính tương đối của chuyển động. Ông đã diễn tả sự tương đối này như sau:
: Cũng như một người trên thuyền đang di chuyển về phía trước nhìn thấy một vật thể không di chuyển lùi lại, thì [một người] trên xích đạo nhìn thấy các ngôi sao không di chuyển đều đặn về phía tây. Nguyên nhân của sự mọc và lặn [là do] thiên cầu của các ngôi sao cùng với các hành tinh [dường như?] quay về phía tây tại xích đạo, liên tục bị đẩy bởi gió vũ trụ.

2.2. Ārya-siddhānta

Từ các tác phẩm của nhiều nhà thiên văn học như Varahamihira vào thế kỷ 6, người ta chắc chắn rằng một tác phẩm thiên văn học tên là Ārya-siddhānta đã tồn tại. Tuy nhiên, nó không còn được lưu truyền đến ngày nay và nội dung chính xác của nó không rõ. Tên gọi Ārya-siddhānta có nghĩa là thiên văn học (siddhanta) của Aryabhata. Ārya-siddhānta đã trở nên rất phổ biến ở Bắc Ấn Độ vào thế kỷ 7. Brahmagupta, một nhà phê bình của Aryabhata, thậm chí đã viết một bản tóm tắt của Ārya-siddhānta với tiêu đề Khandakhadyaka, có nghĩa là "món ăn được chế biến từ đường ngọt", với ý định chỉ trích.

Theo K. V. Sarma, Ārya-siddhānta đã được truyền bá đến Andhra Pradesh, các khu vực từ Tây Bắc Ấn Độ đến Iran, và triều đình Abbasid. Khi Khandakhadyaka được dịch sang tiếng Ả Rập với tên Al-Kand, nó đã được sử dụng rộng rãi trong thế giới Hồi giáo như một cuốn sổ tay tiện lợi cho các phép tính thiên văn. Học giả Ba Tư Al-Biruni, người đã ở Ấn Độ 10 năm và truyền bá khoa học và công nghệ Ấn Độ sang thế giới Hồi giáo, cũng đã sửa đổi bản dịch của Khandakhadyaka.

2.3. Các tác phẩm khác

Một văn bản thứ ba, có thể còn sót lại trong bản dịch tiếng Ả Rập, là Al ntf hoặc Al-nanf. Nó tuyên bố là một bản dịch của Aryabhata, nhưng tên tiếng Phạn của tác phẩm này không được biết đến. Có lẽ có niên đại từ thế kỷ 9, nó được học giả và nhà biên niên sử người Ba Tư về Ấn Độ, Al-Biruni, đề cập đến.

3.1. Hệ thống giá trị theo vị trí và số 0

Hệ thống giá trị theo vị trí, lần đầu tiên xuất hiện trong bản thảo Bakhshali thế kỷ 3, đã được áp dụng rõ ràng trong công trình của Aryabhata. Mặc dù ông không sử dụng một ký hiệu cho số 0, nhà toán học người Pháp Georges Ifrah lập luận rằng kiến thức về số 0 đã được ngầm định trong hệ thống giá trị theo vị trí của Aryabhata như một vị trí giữ chỗ cho các lũy thừa của mười với các hệ số rỗng.

Tuy nhiên, Aryabhata không sử dụng các chữ số chữ số Brahmi. Tiếp nối truyền thống tiếng Phạn từ thời Veda, ông đã sử dụng các chữ cái trong bảng chữ cái để biểu thị các con số, thể hiện các đại lượng, chẳng hạn như bảng sin dưới dạng công thức ghi nhớ.

3.2. Xấp xỉ số Pi (π)

Aryabhata đã nghiên cứu về phép xấp xỉ cho Pi (π), và có thể đã đi đến kết luận rằng π là số vô tỷ. Trong phần thứ hai của Āryabhaṭīya (Ganitapada^Sanskrit 10), ông viết bằng tiếng Phạn:
: caturadhikaṃ śatamaṣṭaguṇaṃ dvāṣaṣṭistathā sahasrāṇām^Sanskrit
: ayutadvayaviṣkambhasyāsanno vṛttapariṇāhaḥ.^Sanskrit
"Thêm bốn vào 100, nhân với tám, rồi cộng 62.000. Bằng quy tắc này, chu vi của một hình tròn có đường kính 20.000 có thể được xấp xỉ."
Điều này ngụ ý rằng đối với một hình tròn có đường kính 20.000, chu vi sẽ là 62.832, tức là π = 62.832 / 20.000 = 3,1416, chính xác đến hai phần trong một triệu.

Người ta suy đoán rằng Aryabhata đã sử dụng từ āsanna^Sanskrit (xấp xỉ), để chỉ rằng đây không chỉ là một phép xấp xỉ mà giá trị này còn là số vô tỷ. Nếu điều này đúng, đó là một cái nhìn khá tinh tế, bởi vì tính vô tỷ của Pi (π) chỉ được chứng minh ở châu Âu vào năm 1761 bởi Johann Heinrich Lambert. Sau khi Āryabhaṭīya được dịch sang tiếng Ả Rập (khoảng năm 820 CN), phép xấp xỉ này đã được đề cập trong cuốn sách về đại số của Al-Khwarizmi.

3.3. Lượng giác

Trong Ganitapada 6, Aryabhata đưa ra công thức tính diện tích hình tam giác là:
: tribhujasya phalaśarīraṃ samadalakoṭī bhujārdhasaṃvargaḥ^Sanskrit
Dịch ra có nghĩa là: "đối với một hình tam giác, tích của đường cao với một nửa cạnh đáy là diện tích."

Aryabhata đã thảo luận về khái niệm sin trong tác phẩm của mình dưới tên ardha-jya^Sanskrit, nghĩa đen là "nửa dây cung". Để đơn giản, mọi người bắt đầu gọi nó là jya^Sanskrit. Khi các nhà văn Ả Rập dịch các tác phẩm của ông từ tiếng Phạn sang tiếng Ả Rập, họ gọi nó là jiba^Arabic. Tuy nhiên, trong các văn bản Ả Rập, nguyên âm thường bị bỏ qua, và nó được viết tắt là jb. Các nhà văn sau này đã thay thế nó bằng jaib^Arabic, có nghĩa là "túi" hoặc "nếp gấp (trong quần áo)". (Trong tiếng Ả Rập, jiba là một từ vô nghĩa.) Sau đó vào thế kỷ 12, khi Gherardo of Cremona dịch các tác phẩm này từ tiếng Ả Rập sang tiếng Latin, ông đã thay thế từ jaib tiếng Ả Rập bằng từ tiếng Latin tương ứng, sinus^Latin, có nghĩa là "vịnh nhỏ" hoặc "vịnh"; từ đó mà có từ tiếng Anh sine.

3.4. Phương trình bất định

Một vấn đề được các nhà toán học Ấn Độ quan tâm lớn từ thời cổ đại là tìm các nghiệm nguyên cho phương trình Diophantine có dạng ax + by = c. (Vấn đề này cũng được nghiên cứu trong toán học Trung Quốc cổ đại, và lời giải của nó thường được gọi là định lý số dư Trung Quốc.) Đây là một ví dụ từ bản chú giải của Bhaskara I về Āryabhaṭīya:
: Tìm số N sao cho khi chia cho 8 thì dư 5, khi chia cho 9 thì dư 4, và khi chia cho 7 thì dư 1.
Tức là, tìm N = 8x+5 = 9y+4 = 7z+1. Giá trị nhỏ nhất của N là 85. Nói chung, các phương trình Diophantine như thế này có thể rất khó giải. Chúng đã được thảo luận rộng rãi trong văn bản Veda cổ Sulba Sutra, với những phần cổ hơn có thể có niên đại từ năm 800 TCN. Phương pháp giải quyết các vấn đề như vậy của Aryabhata, được Bhaskara I giải thích chi tiết vào năm 621 CN, được gọi là phương pháp kuṭṭaka^Sanskrit (कुट्टक). Kuṭṭaka có nghĩa là "nghiền nát" hoặc "phá vỡ thành những mảnh nhỏ", và phương pháp này bao gồm một thuật toán đệ quy để viết các thừa số gốc thành các số nhỏ hơn. Thuật toán này đã trở thành phương pháp tiêu chuẩn để giải các phương trình Diophantine bậc một trong toán học Ấn Độ, và ban đầu toàn bộ môn đại số được gọi là kuṭṭaka-gaṇita hoặc đơn giản là kuṭṭaka.

3.5. Đại số và chuỗi

Trong Āryabhaṭīya, Aryabhata đã cung cấp các kết quả thanh lịch cho việc tính tổng các chuỗi số bình phương và lập phương:
: $1^2\; +\; 2^2\; +\; \backslash cdots\; +\; n^2\; =\; \{n(n\; +\; 1)(2n\; +\; 1)\; \backslash over\; 6\}$
và
: $1^3\; +\; 2^3\; +\; \backslash cdots\; +\; n^3\; =\; (1\; +\; 2\; +\; \backslash cdots\; +\; n)^2$ (xem số tam giác bình phương)

3.6. Đo lường học

Aryabhata đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực đo lường học, đặc biệt là liên quan đến việc tính toán diện tích và thể tích của các hình học cơ bản. Ông đã đưa ra công thức đúng để tính diện tích hình tam giác. Tuy nhiên, ông lại đưa ra một công thức không chính xác cho thể tích hình chóp (ông cho rằng thể tích bằng một nửa chiều cao nhân với diện tích đáy).

4.1. Sự tự quay của Trái Đất và tính tương đối của chuyển động

Aryabhata đã khẳng định chính xác rằng Trái Đất tự quay quanh trục của nó hàng ngày, và rằng chuyển động biểu kiến của các ngôi sao là một chuyển động tương đối do sự tự quay của Trái Đất, trái ngược với quan điểm phổ biến lúc bấy giờ cho rằng bầu trời quay. Điều này được chỉ ra trong chương đầu tiên của Āryabhaṭīya, nơi ông đưa ra số vòng quay của Trái Đất trong một yuga, và được làm rõ hơn trong chương gola^Sanskrit của ông:
: Cũng như một người trên thuyền đang di chuyển về phía trước nhìn thấy một vật thể không di chuyển lùi lại, thì [một người] trên xích đạo nhìn thấy các ngôi sao không di chuyển đều đặn về phía tây. Nguyên nhân của sự mọc và lặn [là do] thiên cầu của các ngôi sao cùng với các hành tinh [dường như?] quay về phía tây tại xích đạo, liên tục bị đẩy bởi gió vũ trụ.

4.2. Mô hình thiên văn học

Aryabhata đã mô tả một mô hình địa tâm của Hệ Mặt Trời, trong đó Mặt Trời và Mặt Trăng đều được mang bởi các sai luân. Chúng lần lượt quay quanh Trái Đất. Trong mô hình này, cũng được tìm thấy trong Paitāmahasiddhānta (khoảng năm 425 CN), chuyển động của các hành tinh đều được điều chỉnh bởi hai sai luân, một sai luân nhỏ hơn manda^Sanskrit (chậm) và một sai luân lớn hơn śīghra^Sanskrit (nhanh). Thứ tự các hành tinh theo khoảng cách từ Trái Đất được xác định là: Mặt Trăng, Sao Thủy, Sao Kim, Mặt Trời, Sao Hỏa, Sao Mộc, Sao Thổ và các chòm sao.

Vị trí và chu kỳ của các hành tinh được tính toán tương đối so với các điểm chuyển động đều. Trong trường hợp của Sao Thủy và Sao Kim, chúng di chuyển quanh Trái Đất với cùng tốc độ trung bình như Mặt Trời. Trong trường hợp của Sao Hỏa, Sao Mộc và Sao Thổ, chúng di chuyển quanh Trái Đất với tốc độ cụ thể, đại diện cho chuyển động của mỗi hành tinh qua cung hoàng đạo. Hầu hết các nhà sử học thiên văn học đều cho rằng mô hình hai sai luân này phản ánh các yếu tố của thiên văn học Hy Lạp tiền Ptolemy. Một yếu tố khác trong mô hình của Aryabhata, śīghrocca^Sanskrit, chu kỳ hành tinh cơ bản liên quan đến Mặt Trời, được một số nhà sử học coi là dấu hiệu của một mô hình nhật tâm tiềm ẩn.

4.3. Nhật thực và Nguyệt thực

Nhật thực và nguyệt thực đã được Aryabhata giải thích một cách khoa học. Ông tuyên bố rằng Mặt Trăng và các hành tinh chiếu sáng nhờ ánh sáng Mặt Trời phản chiếu. Thay vì thuyết vũ trụ học phổ biến cho rằng nhật thực và nguyệt thực là do Rahu và Ketu (được xác định là các điểm nút quỹ đạo giả hành tinh) gây ra, ông giải thích các hiện tượng này dựa trên bóng của Trái Đất và bóng của Mặt Trăng. Do đó, nguyệt thực xảy ra khi Mặt Trăng đi vào bóng của Trái Đất (câu gola^Sanskrit.37). Ông thảo luận chi tiết về kích thước và phạm vi của bóng Trái Đất (các câu gola^Sanskrit.38-48) và sau đó cung cấp phép tính và kích thước của phần bị che khuất trong một lần nhật thực hoặc nguyệt thực. Các nhà thiên văn học Ấn Độ sau này đã cải thiện các phép tính, nhưng phương pháp của Aryabhata đã cung cấp cốt lõi. Mô hình tính toán của ông chính xác đến mức nhà khoa học thế kỷ 18 Guillaume Le Gentil, trong chuyến thăm Pondicherry, Ấn Độ, đã nhận thấy các phép tính của Ấn Độ về thời gian của nguyệt thực ngày 30 tháng 8 năm 1765 chỉ sai lệch 41 giây, trong khi biểu đồ của ông (của Tobias Mayer, 1752) lại sai lệch 68 giây.

4.4. Chu kỳ thiên thể và tính toán

Khi xét theo các đơn vị thời gian hiện đại, Aryabhata đã tính toán chu kỳ tự quay thiên văn (sự tự quay của Trái Đất so với các ngôi sao cố định) là 23 giờ 56 phút 4,1 giây; giá trị hiện đại là 23 giờ 56 phút 4,091 giây. Tương tự, giá trị của ông về độ dài của năm thiên văn là 365 ngày, 6 giờ, 12 phút và 30 giây (365,25858 ngày) có sai số 3 phút 20 giây so với độ dài của một năm (365,25636 ngày).

4.5. Các thiết bị thiên văn

Aryabhata đã đề cập hoặc sử dụng nhiều thiết bị thiên văn trong các công trình của mình, bao gồm:

• Gnomon (shanku-yantra^Sanskrit): Một thiết bị đơn giản dùng để đo thời gian bằng bóng nắng.
• Dụng cụ bóng (chhAyA-yantra^Sanskrit): Các thiết bị dựa trên bóng để đo lường.
• Thiết bị đo góc: Có thể là các dụng cụ hình bán nguyệt (dhanur-yantra^Sanskrit) và hình tròn (chakra-yantra^Sanskrit).
• Gậy hình trụ (yasti-yantra^Sanskrit): Một loại thước đo hoặc dụng cụ quan sát.
• Thiết bị hình ô (chhatra-yantra^Sanskrit): Một thiết bị có hình dạng giống chiếc ô, có thể dùng để quan sát hoặc đo lường.
• Đồng hồ nước: Ít nhất hai loại, một loại hình cung và một loại hình trụ, được dùng để đo thời gian chính xác.

4.6. Heliocentrism

Như đã đề cập, Aryabhata ủng hộ một mô hình thiên văn trong đó Trái Đất tự quay quanh trục của nó. Mô hình của ông cũng đưa ra các hiệu chỉnh (sai lệch śīghra^Sanskrit) cho tốc độ của các hành tinh trên bầu trời theo tốc độ trung bình của Mặt Trời. Do đó, người ta đã gợi ý rằng các phép tính của Aryabhata dựa trên một mô hình nhật tâm tiềm ẩn, trong đó các hành tinh quay quanh Mặt Trời, mặc dù điều này đã bị bác bỏ. Cũng có ý kiến cho rằng các khía cạnh trong hệ thống của Aryabhata có thể có nguồn gốc từ một mô hình nhật tâm Hy Lạp sớm hơn, có thể là tiền Ptolemy, mà các nhà thiên văn học Ấn Độ không biết đến, mặc dù bằng chứng còn ít ỏi. Quan điểm chung là dị thường giao hội (phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời) không ngụ ý một quỹ đạo nhật tâm vật lý (những hiệu chỉnh như vậy cũng có mặt trong các văn bản thiên văn học Babylon muộn), và hệ thống của Aryabhata không phải là nhật tâm một cách rõ ràng.

5.1. Ảnh hưởng đến khoa học Ấn Độ và Hồi giáo

Công trình của Aryabhata có ảnh hưởng lớn trong truyền thống thiên văn học Ấn Độ và ảnh hưởng đến một số nền văn hóa lân cận thông qua các bản dịch. Bản dịch tiếng Ả Rập trong Thời kỳ Hoàng kim của Hồi giáo (khoảng năm 820 CN) đặc biệt có ảnh hưởng. Một số kết quả của ông được Al-Khwarizmi trích dẫn và vào thế kỷ 10, Al-Biruni đã tuyên bố rằng những người theo Aryabhata tin rằng Trái Đất tự quay quanh trục của nó.

5.2. Thuật ngữ lượng giác

Các định nghĩa của ông về sin (jya), cosin (kojya^Sanskrit), versine (utkrama-jya^Sanskrit), và sin ngược (otkram jya^Sanskrit) đã ảnh hưởng đến sự ra đời của lượng giác. Ông cũng là người đầu tiên chỉ định các bảng sin và versine (1 - cos x), với khoảng cách 3,75 độ từ 0 độ đến 90 độ, với độ chính xác 4 chữ số thập phân.

Trên thực tế, các thuật ngữ hiện đại "sine" và "cosine" là những bản chép sai của các từ jya^Sanskrit và kojya^Sanskrit do Aryabhata giới thiệu. Như đã đề cập, chúng được dịch thành jiba^Arabic và kojiba^Arabic trong tiếng Ả Rập và sau đó bị Gherardo of Cremona hiểu lầm khi dịch một văn bản hình học Ả Rập sang tiếng Latin. Ông cho rằng jiba là từ tiếng Ả Rập jaib^Arabic, có nghĩa là "nếp gấp trong quần áo", tiếng Latin là sinus^Latin (khoảng năm 1150).

5.3. Hệ thống lịch

Các phương pháp tính toán thiên văn của Aryabhata cũng rất có ảnh hưởng. Cùng với các bảng lượng giác, chúng đã được sử dụng rộng rãi trong thế giới Hồi giáo và được dùng để tính toán nhiều bảng thiên văn Ả Rập (zijes). Đặc biệt, các bảng thiên văn trong công trình của nhà khoa học Al-Andalus Al-Zarqali (thế kỷ 11) đã được dịch sang tiếng Latin thành Bảng Toledo (thế kỷ 12) và vẫn là lịch thiên văn chính xác nhất được sử dụng ở châu Âu trong nhiều thế kỷ.

Các phép tính lịch do Aryabhata và những người theo ông phát triển đã được sử dụng liên tục ở Ấn Độ cho các mục đích thực tế để lập Panchangam (lịch Hindu). Trong thế giới Hồi giáo, chúng đã hình thành cơ sở của lịch Jalali được giới thiệu vào năm 1073 CN bởi một nhóm các nhà thiên văn học bao gồm Omar Khayyam, các phiên bản của lịch này (được sửa đổi vào năm 1925) là các lịch quốc gia đang được sử dụng ở Iran và Afghanistan ngày nay. Các ngày của lịch Jalali dựa trên sự chuyển động thực tế của Mặt Trời, giống như trong lịch Aryabhata và các lịch Siddhanta trước đó. Loại lịch này yêu cầu một lịch thiên văn để tính toán ngày. Mặc dù việc tính toán ngày khó khăn, nhưng sai số theo mùa trong lịch Jalali ít hơn so với lịch Gregorius.

5.4. Tưởng niệm và vinh danh

Để vinh danh Aryabhata, nhiều công trình và tổ chức đã được đặt theo tên ông:

• Đại học Aryabhatta Knowledge (AKU), Patna được Chính phủ Bihar thành lập để phát triển và quản lý cơ sở hạ tầng giáo dục liên quan đến kỹ thuật, y tế, quản lý và giáo dục chuyên nghiệp liên quan. Trường đại học này được điều chỉnh bởi Đạo luật Đại học Bang Bihar năm 2008.
• Vệ tinh đầu tiên của Ấn Độ Vệ tinh Aryabhata và miệng núi lửa Mặt Trăng Miệng núi lửa Aryabhata đều được đặt theo tên ông. Vệ tinh Aryabhata cũng được in trên mặt sau của tờ 2 rupee Ấn Độ.
• Một viện nghiên cứu thiên văn học, vật lý thiên văn và khoa học khí quyển là Viện Nghiên cứu Khoa học Quan sát Aryabhatta (ARIES) gần Nainital, Ấn Độ.
• Cuộc thi toán học liên trường Cuộc thi Toán Aryabhata cũng được đặt theo tên ông.
• Bacillus aryabhata, một loài vi khuẩn được các nhà khoa học ISRO phát hiện trong tầng bình lưu vào năm 2009, cũng được đặt theo tên ông.

6.1. Đánh giá lịch sử

Āryabhaṭīya là tác phẩm duy nhất còn tồn tại đến ngày nay và là cuốn sách toán học Ấn Độ cổ nhất mà tác giả được biết đến. Bhaskara I (thế kỷ 7) và Nilakantha Somayaji (1444-1544) đã viết các bản chú giải cho tác phẩm này.

Āryabhaṭīya được cho là có nội dung đổi mới, nhưng cũng có những điểm thỏa hiệp với truyền thống. Takao Hayashi (1993) lưu ý rằng một trong những điểm thỏa hiệp là việc đưa vào khái niệm thời gian vũ trụ học, một khái niệm quan trọng trong Kỳ Na giáo. Ông chỉ ra rằng Pataliputra từng là trung tâm học thuật của Kỳ Na giáo (thế kỷ 4 TCN), nơi các kinh điển Kỳ Na giáo được biên soạn, và các học giả Kỳ Na giáo đã hoạt động tích cực trong lĩnh vực toán học vào thời Aryabhata. Điều này gợi ý khả năng Aryabhata đã tiếp xúc với các học giả Kỳ Na giáo.

M.L. Sharma, một nhà sử học khoa học, đã ca ngợi Aryabhata là "Acharya (học giả) đầu tiên của thiên văn học Ấn Độ". Acharya là danh hiệu dành cho những người tự nghiên cứu và viết sách. Điều này cho thấy Aryabhata đã nghiên cứu kiến thức trong quá khứ và tự mình sáng tác các tác phẩm.

6.2. Phê bình và tranh cãi

Brahmagupta, người đã chỉ trích gay gắt Aryabhata từ quan điểm của Brahmin, đã viết trong chương 1, câu 62 của Brāhmasphuṭasiddhānta: "Những người ủng hộ Aryabhata không công khai đối đầu như linh dương. Họ không đối đầu với sư tử ngay cả khi nhìn thấy sư tử." Về câu này, Grigory Maximovich Bongard-Levin, một nhà Ấn Độ học Liên Xô, đã giải thích rằng Brahmagupta ví những người theo chủ nghĩa truyền thống Brahmin giáo là sư tử dễ dàng giết chết linh dương, và ngụ ý rằng Aryabhata đã tự bảo vệ mình một cách nhân văn. Theo Levin, Brahmagupta ngụ ý rằng Aryabhata đã bị chỉ trích bởi những người chống khoa học vì đã kiên trì giữ vững lập trường của mình như một nhà khoa học, và gần như không thể nghi ngờ rằng Aryabhata đã tránh bị tấn công, chỉ trích và đàn áp từ các Brahmin chính thống và những tín đồ trung thành của họ.

Varahamihira trong tác phẩm Pancha-Siddhantika đã ghi lại các tác phẩm phổ biến vào thời Aryabhata, nhưng tất cả chúng đều tuyên bố được truyền lại từ các kinh điển thông qua các thánh nhân. Ngược lại, Aryabhata đã nghiên cứu kiến thức trong quá khứ và tự mình sáng tác các tác phẩm.