Thoralf Skolem

2.1. Thời thơ ấu và gia đình

Thoralf Skolem sinh ngày 23 tháng 5 năm 1887. Cha của ông là một giáo viên tiểu học, nhưng phần lớn gia đình lớn của ông là nông dân. Ông lớn lên trong một môi trường giản dị, đặt nền móng cho sự nghiệp học thuật sau này.

2.2. Giáo dục

Skolem theo học trường trung học ở Kristiania (sau đổi tên thành Oslo), và vượt qua kỳ thi tuyển sinh đại học vào năm 1905. Sau đó, ông nhập học Đại học Hoàng gia Frederik (nay là Đại học Oslo) để theo học toán học. Ngoài toán học, ông còn tham gia các khóa học về vật lý, hóa học, động vật học và thực vật học, cho thấy sự quan tâm rộng rãi của ông đối với nhiều lĩnh vực khoa học.

2.3. Sự nghiệp ban đầu và hợp tác với Birkeland

Năm 1909, Skolem bắt đầu làm trợ lý cho nhà vật lý Kristian Birkeland, người nổi tiếng với các thí nghiệm bắn phá các hình cầu nhiễm từ bằng điện tử để tạo ra hiệu ứng giống cực quang. Do đó, những ấn phẩm đầu tiên của Skolem là các bài báo vật lý được viết chung với Birkeland. Năm 1913, Skolem vượt qua kỳ thi cấp nhà nước với thành tích xuất sắc và hoàn thành luận văn có tiêu đề Nghiên cứu về Đại số Logic. Ông cũng cùng Birkeland đến Sudan để quan sát ánh sáng hoàng đạo.

2.4. Sự nghiệp học thuật và đời sống đại học

Vào học kỳ mùa đông năm 1915, Skolem đã dành thời gian tại Đại học Göttingen, lúc bấy giờ là trung tâm nghiên cứu hàng đầu về logic toán học, siêu toán học và đại số trừu tượng - những lĩnh vực mà Skolem sau này đã xuất sắc. Năm 1916, ông được bổ nhiệm làm nghiên cứu viên tại Đại học Hoàng gia Frederik. Đến năm 1918, ông trở thành Giáo sư Toán học và được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học và Văn học Na Uy.

Ban đầu, Skolem không chính thức đăng ký làm nghiên cứu sinh tiến sĩ, vì tin rằng bằng tiến sĩ là không cần thiết ở Na Uy. Tuy nhiên, sau đó ông đã thay đổi ý định và nộp luận văn vào năm 1926, có tiêu đề Một số định lý về các nghiệm nguyên của một số phương trình và bất đẳng thức đại số nhất định. Người hướng dẫn luận văn trên danh nghĩa của ông là Axel Thue, mặc dù Thue đã qua đời vào năm 1922.

Năm 1930, Skolem trở thành Nghiên cứu viên tại Viện Chr. Michelsen ở Bergen, Na Uy. Vị trí cấp cao này cho phép Skolem thực hiện nghiên cứu mà không phải chịu trách nhiệm hành chính và giảng dạy. Tuy nhiên, vị trí này cũng yêu cầu ông phải cư trú tại Bergen, một thành phố khi đó chưa có trường đại học và do đó không có thư viện nghiên cứu, khiến ông không thể cập nhật các tài liệu toán học mới nhất. Năm 1938, ông quay trở lại Oslo để đảm nhiệm chức vụ Giáo sư Toán học tại Đại học Oslo (đổi tên vào năm 1939). Tại đây, ông giảng dạy các khóa học sau đại học về đại số và lý thuyết số, và chỉ thỉnh thoảng giảng về logic toán học. Sinh viên tiến sĩ của Skolem, Øystein Ore, sau này đã có sự nghiệp tại Hoa Kỳ.

Skolem từng giữ chức chủ tịch Hội Toán học Na Uy và biên tập tạp chí Norsk Matematisk Tidsskrift (Tạp chí Toán học Na Uy) trong nhiều năm. Ông cũng là biên tập viên sáng lập của Mathematica Scandinavica.

2.5. Đời sống cá nhân

Năm 1927, ông kết hôn với Edith Wilhelmine Hasvold.

2.6. Sau khi nghỉ hưu và qua đời

Sau khi nghỉ hưu vào năm 1957, ông đã thực hiện một số chuyến đi đến Hoa Kỳ, diễn thuyết và giảng dạy tại các trường đại học ở đó. Ông vẫn duy trì hoạt động trí tuệ cho đến khi qua đời đột ngột và bất ngờ vào ngày 23 tháng 3 năm 1963.

3.1. Logic toán học và Lý thuyết tập hợp

Skolem đã có những đóng góp tiên phong trong logic toán học và lý thuyết tập hợp. Năm 1922, ông đã tinh chỉnh các tiên đề Zermelo cho lý thuyết tập hợp bằng cách thay thế khái niệm mơ hồ về một thuộc tính "xác định" của Zermelo bằng bất kỳ thuộc tính nào có thể được mã hóa trong logic bậc nhất. Tiên đề kết quả này hiện là một phần của các tiên đề tiêu chuẩn của lý thuyết tập hợp.

Ông cũng là người đã chỉ ra rằng một hệ quả của định lý Löwenheim-Skolem là cái mà ngày nay được gọi là nghịch lý Skolem: Nếu các tiên đề Zermelo là nhất quán, thì chúng phải được thỏa mãn trong một miền đếm được, mặc dù chúng chứng minh sự tồn tại của các tập hợp không đếm được.

3.2. Lý thuyết mô hình

Skolem là một nhà lý thuyết mô hình tiên phong. Năm 1920, ông đã đơn giản hóa đáng kể chứng minh của một định lý mà Leopold Löwenheim đã chứng minh lần đầu tiên vào năm 1915, dẫn đến định lý Löwenheim-Skolem. Định lý này phát biểu rằng nếu một lý thuyết bậc nhất đếm được có một mô hình vô hạn, thì nó có một mô hình đếm được. Chứng minh năm 1920 của ông đã sử dụng tiên đề chọn, nhưng sau đó ông (vào năm 1922 và 1928) đã đưa ra các chứng minh sử dụng bổ đề Kőnig thay cho tiên đề đó. Đáng chú ý là Skolem, giống như Löwenheim, đã viết về logic toán học và lý thuyết tập hợp bằng cách sử dụng ký hiệu của các nhà lý thuyết mô hình tiên phong khác là Charles Sanders Peirce và Ernst Schröder, bao gồm Π, Σ như các lượng từ ràng buộc biến, trái ngược với các ký hiệu của Giuseppe Peano, Principia Mathematica và Principles of Mathematical Logic. Skolem (1934) là người tiên phong trong việc xây dựng các mô hình phi tiêu chuẩn của số học và lý thuyết tập hợp.

3.3. Lý thuyết lưới

Skolem là một trong những người đầu tiên viết về lưới. Năm 1912, ông là người đầu tiên mô tả một lưới phân phối tự do được tạo ra bởi n phần tử. Năm 1919, ông chỉ ra rằng mọi lưới hàm ý (nay còn được gọi là lưới Skolem) đều là phân phối và, như một phần đảo ngược, rằng mọi lưới phân phối hữu hạn đều là hàm ý. Sau khi những kết quả này được người khác tái khám phá, Skolem đã xuất bản một bài báo bằng tiếng Đức vào năm 1936, "Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'", khảo sát công trình trước đây của ông trong lý thuyết lưới.

3.4. Chủ nghĩa hữu hạn và Lý thuyết tính toán

Skolem không tin tưởng vào vô hạn hoàn chỉnh và là một trong những người sáng lập chủ nghĩa hữu hạn trong toán học. Skolem (1923) đã trình bày số học nguyên thủy đệ quy của ông, một đóng góp rất sớm cho lý thuyết hàm tính toán, như một phương tiện để tránh cái gọi là nghịch lý của vô hạn. Tại đây, ông đã phát triển số học của các số tự nhiên bằng cách định nghĩa các đối tượng thông qua đệ quy nguyên thủy, sau đó xây dựng một hệ thống khác để chứng minh các tính chất của các đối tượng được định nghĩa bởi hệ thống đầu tiên. Hai hệ thống này cho phép ông định nghĩa số nguyên tố và trình bày một lượng đáng kể lý thuyết số. Nếu hệ thống đầu tiên có thể được coi là một ngôn ngữ lập trình để định nghĩa các đối tượng, và hệ thống thứ hai là một logic lập trình để chứng minh các tính chất về các đối tượng, thì Skolem có thể được coi là một người tiên phong vô tình của khoa học máy tính lý thuyết.

Năm 1929, Presburger đã chứng minh rằng số học Peano không có phép nhân là nhất quán, đầy đủ và khả quyết. Năm sau, Skolem đã chứng minh rằng điều tương tự cũng đúng với số học Peano không có phép cộng, một hệ thống được đặt tên là số học Skolem để vinh danh ông. Kết quả nổi tiếng năm 1931 của Kurt Gödel là bản thân số học Peano (với cả phép cộng và phép nhân) là không đầy đủ và do đó bất khả quyết.

3.5. Các định lý và khái niệm chính

Các định lý và khái niệm toán học quan trọng mang tên ông hoặc có sự đóng góp của ông bao gồm:

• Dạng chuẩn Skolem
• Số học Skolem
• Định lý Skolem-Noether, đặc trưng cho các tự đẳng cấu của các đại số đơn. Skolem đã công bố một chứng minh vào năm 1927, nhưng Emmy Noether đã độc lập tái khám phá nó vài năm sau đó.
• Định lý Skolem-Mahler-Lech
• Ông cũng có những công trình liên quan đến số p-adic.

5.1. Đánh giá tích cực

Hao Wang đã ca ngợi công trình của Skolem như sau:
"Skolem có xu hướng giải quyết các vấn đề tổng quát bằng các ví dụ cụ thể. Ông thường trình bày các chứng minh theo cùng một thứ tự mà ông đã khám phá ra chúng. Điều này tạo nên một sự không chính thức tươi mới cũng như một sự không kết luận nhất định. Nhiều bài báo của ông tạo ấn tượng như các báo cáo tiến độ. Tuy nhiên, các ý tưởng của ông thường rất phong phú và có tiềm năng ứng dụng rộng rãi. Ông là một 'tinh thần tự do' đúng nghĩa: ông không thuộc về bất kỳ trường phái nào, ông không thành lập trường phái riêng của mình, ông thường không sử dụng nhiều các kết quả đã biết... ông là một nhà đổi mới và hầu hết các bài báo của ông có thể được đọc và hiểu bởi những người không có nhiều kiến thức chuyên sâu. Có vẻ khá chắc chắn rằng nếu ông còn trẻ ngày nay, logic... sẽ không thu hút ông."

5.2. Phê bình và tranh cãi

Mặc dù công trình của Skolem có tầm quan trọng lớn, nhưng do ông chủ yếu xuất bản trên các tạp chí Na Uy có phạm vi lưu hành quốc tế hạn chế, nên các kết quả của ông đôi khi đã bị các nhà toán học khác tái khám phá một cách độc lập. Điều này cho thấy một thách thức trong việc phổ biến và công nhận kịp thời những đóng góp của ông trong cộng đồng toán học quốc tế.

5.3. Ảnh hưởng đến các thế hệ sau

Các ý tưởng và phương pháp toán học của Skolem đã có ảnh hưởng sâu rộng đến sự phát triển của logic toán học và lý thuyết tính toán sau này. Mặc dù Kurt Gödel là người đầu tiên chứng minh chính thức định lý đầy đủ của Gödel vào năm 1930, nhưng tính đầy đủ của logic bậc nhất là một hệ quả từ các kết quả mà Skolem đã chứng minh vào đầu những năm 1920 và thảo luận vào năm 1928. Tuy nhiên, ông đã không nhấn mạnh thực tế này, có lẽ vì các nhà toán học và logic học chưa hoàn toàn nhận thức được tính đầy đủ như một vấn đề siêu toán học cơ bản cho đến khi ấn bản đầu tiên của Principles of Mathematical Logic của Hilbert và Ackermann năm 1928 làm rõ điều đó. Dù vậy, những công trình của ông về lý thuyết mô hình, lý thuyết lưới và số học nguyên thủy đệ quy đã đặt nền móng cho nhiều nghiên cứu sau này.