Pierre Deligne

1.1. Thời thơ ấu và Giáo dục

Deligne theo học tại trường Athénée Adolphe Max trước khi vào Université libre de Bruxelles (ULB). Tại ULB, ông đã hoàn thành luận văn có tựa đề Théorème de Lefschetz et critères de dégénérescence de suites spectrales (Định lý Lefschetz và tiêu chí suy biến của các chuỗi phổ). Ông tiếp tục hoàn thành bằng tiến sĩ tại Đại học Paris-Sud ở Orsay vào năm 1972 dưới sự hướng dẫn của Alexander Grothendieck, với luận án có tựa đề Théorie de Hodge (Lý thuyết Hodge).

2.1. Hoạt động ban đầu và tại IHÉS

Bắt đầu từ năm 1965, Deligne làm việc với Alexander Grothendieck tại Viện Nghiên cứu Khoa học Cao cấp (IHÉS) gần Paris. Ban đầu, công việc của ông tập trung vào việc tổng quát hóa định lý chính của Zariski trong khuôn khổ lý thuyết sơ đồ. Năm 1968, ông cũng hợp tác với Jean-Pierre Serre; công trình của họ đã dẫn đến những kết quả quan trọng về các biểu diễn l-adic gắn liền với dạng modular và các phương trình hàm giả định của hàm L. Deligne cũng tập trung vào các chủ đề trong Lý thuyết Hodge, giới thiệu khái niệm trọng số và kiểm tra chúng trên các đối tượng trong hình học phức.

Một trong những đóng góp nổi tiếng nhất của ông là việc hợp tác với David Mumford về một mô tả mới về không gian moduli cho các đường cong. Công trình của họ được xem là một giới thiệu về một dạng của lý thuyết stacks đại số, và gần đây đã được áp dụng vào các câu hỏi phát sinh từ lý thuyết dây.

Từ năm 1970 đến 1984, Deligne là thành viên thường trực của IHÉS. Trong thời gian này, ông đã thực hiện nhiều công trình quan trọng ngoài lĩnh vực đại số hình học. Trong công trình chung với George Lusztig, Deligne đã áp dụng đại số étale để xây dựng các biểu diễn của nhóm Lie hữu hạn; cùng với Michael Rapoport, Deligne đã nghiên cứu không gian moduli từ góc độ số học 'tinh tế', với ứng dụng vào các dạng modular.

2.2. Hoạt động tại Viện Nghiên cứu Cao cấp

Năm 1984, Deligne chuyển đến Viện Nghiên cứu Cao cấp ở Princeton, Hoa Kỳ. Trong giai đoạn này, ông tiếp tục có nhiều đóng góp đáng kể. Ông đã viết một cuốn sách về đơn trị cùng với George Mostow.

3.1. Chứng minh Giả thuyết Weil

Đóng góp nổi tiếng nhất của Deligne là chứng minh phỏng đoán Weil thứ ba và cuối cùng vào năm 1973, được công bố trong bài báo năm 1974 của ông. Chứng minh này đã hoàn thành một chương trình nghiên cứu kéo dài hơn một thập kỷ, được khởi xướng và phát triển phần lớn bởi Alexander Grothendieck. Là một hệ quả, ông đã chứng minh giả thuyết Ramanujan-Petersson nổi tiếng cho các dạng modular có trọng số lớn hơn một; trọng số một đã được chứng minh trong công trình của ông với Jean-Pierre Serre.

Đóng góp của Deligne là cung cấp ước tính về các hệ số riêng của endomorphism Frobenius, được coi là tương tự hình học của giả thuyết Riemann. Nó cũng dẫn đến một chứng minh của định lý siêu phẳng Lefschetz cứng và các ước tính cũ và mới của các tổng mũ cổ điển, cùng với các ứng dụng khác. Bài báo năm 1980 của Deligne chứa một phiên bản tổng quát hơn nhiều của giả thuyết Riemann.

3.2. Lý thuyết Hodge và Động cơ (Motives)

Deligne đã có những đóng góp sâu sắc vào Lý thuyết Hodge và lý thuyết động cơ (toán học). Ông đã định nghĩa chu trình Hodge tuyệt đối như một sự thay thế cho lý thuyết động cơ còn thiếu và phần lớn vẫn còn là giả thuyết. Ý tưởng này cho phép vượt qua sự thiếu hiểu biết về giả thuyết Hodge đối với một số ứng dụng.

Cấu trúc Hodge hỗn hợp, một công cụ mạnh mẽ trong đại số hình học tổng quát hóa Lý thuyết Hodge cổ điển, đã được Deligne tạo ra bằng cách áp dụng lọc trọng lượng, phân giải kỳ dị của Hironaka và các phương pháp khác, mà sau đó ông đã sử dụng để chứng minh phỏng đoán Weil. Ông đã tái cấu trúc phạm trù Tannaka trong bài báo năm 1990 của mình cho "Grothendieck Festschrift", sử dụng định lý đơn điệu của Beck - khái niệm phạm trù Tannaka là biểu hiện phạm trù của tính tuyến tính của lý thuyết động cơ như là lý thuyết đối đồng điều Weil tối thượng. Tất cả điều này là một phần của "yoga của trọng số", thống nhất Lý thuyết Hodge và biểu diễn Galois l-adic. Lý thuyết đa tạp Shimura có liên quan, với ý tưởng rằng các đa tạp như vậy không chỉ nên tham số hóa các họ cấu trúc Hodge tốt (có ý nghĩa số học), mà còn cả các động cơ thực sự. Lý thuyết này vẫn chưa hoàn chỉnh, và các xu hướng gần đây đã sử dụng các phương pháp lý thuyết K.

3.3. Không gian Moduli và Stacks Đại số

Deligne đã hợp tác với David Mumford trong công trình của họ về mô tả mới của không gian moduli cho các đường cong. Công trình này đã giới thiệu một dạng của lý thuyết stacks đại số, đặc biệt là stacks Deligne-Mumford, và gần đây đã được áp dụng vào các câu hỏi phát sinh từ lý thuyết dây.

3.4. Lý thuyết Biểu diễn và Nhóm Đại số

Trong công trình chung với George Lusztig, Deligne đã áp dụng đại số étale để xây dựng các biểu diễn của nhóm Lie hữu hạn. Công trình này, được gọi là lý thuyết Deligne-Lusztig, đã cung cấp một phương pháp hình học để phân loại và xây dựng các biểu diễn bất khả quy của các nhóm đại số hữu hạn.

3.5. Các Nghiên cứu Quan trọng Khác

Deligne cũng đã có những đóng góp quan trọng khác:

• Cùng với Alexander Beilinson, Joseph Bernstein, và Ofer Gabber, Deligne đã có những đóng góp quyết định cho lý thuyết bó thuận nghịch. Lý thuyết này đóng một vai trò quan trọng trong chứng minh gần đây của bổ đề cơ bản (chương trình Langlands) bởi Ngô Bảo Châu. Nó cũng được chính Deligne sử dụng để làm rõ bản chất của tương ứng Riemann-Hilbert, mở rộng bài toán thứ 21 của Hilbert lên các chiều cao hơn.
• Năm 1974 tại IHÉS, bài báo chung của Deligne với Phillip Griffiths, John Morgan và Dennis Sullivan về lý thuyết đồng luân thực của đa tạp Kähler compact là một công trình lớn trong hình học vi phân phức đã giải quyết một số câu hỏi quan trọng cả về ý nghĩa cổ điển và hiện đại.
• Công trình của ông trong lý thuyết kỳ dị phức đã tổng quát hóa ánh xạ Milnor vào một thiết lập đại số và mở rộng công thức Picard-Lefschetz vượt ra ngoài định dạng chung của chúng, tạo ra một phương pháp nghiên cứu mới trong chủ đề này.
• Bài báo của ông với Ken Ribet về hàm L Abel và các mở rộng của chúng sang mặt modular Hilbert và hàm L p-adic tạo thành một phần quan trọng trong công trình của ông về hình học số học.
• Các thành tựu nghiên cứu quan trọng khác của Deligne bao gồm khái niệm giảm đồng điều, hàm L động cơ, bó hỗn hợp, chu trình biến mất lân cận, mở rộng trung tâm của nhóm rút gọn, hình học và tô pô của nhóm bện, cung cấp định nghĩa tiên đề hiện đại của đa tạp Shimura, công trình hợp tác với George Mostow về các ví dụ về lưới không số học và đơn trị của phương trình vi phân siêu hình học trong không gian hyperbol phức hai và ba chiều.
• Ông cũng đã đóng góp vào định lý Deligne-Serre về biểu diễn l-adic của các dạng modular, công thức vết Deligne-Kazhdan, phân loại Deligne-Mostow về không gian cấu hình của các đường thẳng xạ ảnh, và cấu trúc của đối đồng điều Deligne. Ông cũng nghiên cứu mối quan hệ giữa các giá trị zeta đa và các động cơ.