Nhà toán họcNgười MỹNgười HungaryGiáo sư

Paul Halmos

Paul Richard Halmos (1916-2006) là nhà toán học và xác suất học người Mỹ gốc Hungary, nổi tiếng với các đóng góp về logic, xác suất, giải tích và là người truyền bá toán học xuất sắc.

1. Thời niên thiếu và Giáo dục

Paul Halmos sinh ngày 3 tháng 3 năm 1916 tại Budapest, Vương quốc Hungary, trong một gia đình Do Thái. Năm 13 tuổi, ông cùng gia đình di cư sang Hoa Kỳ. Mặc dù sống ở Mỹ phần lớn cuộc đời, ông vẫn giữ giọng Hungary trong cách nói chuyện.

Ông theo học tại Đại học Illinois tại Urbana-Champaign và lấy bằng Cử nhân Nghệ thuật (B.A.) chỉ trong ba năm, tốt nghiệp khi mới 19 tuổi. Ông chuyên ngành toán học nhưng cũng hoàn thành các yêu cầu cho một bằng cấp về triết học. Sau đó, ông bắt đầu chương trình Tiến sĩ (Ph.D.) về triết học tại cùng khuôn viên trường. Tuy nhiên, sau khi trượt kỳ thi vấn đáp thạc sĩ, ông đã chuyển sang chuyên ngành toán học và hoàn thành bằng tiến sĩ vào năm 1938. Luận án của ông, có tựa đề "Invariants of Certain Stochastic Transformations: The Mathematical Theory of Gambling Systems" (Các bất biến của một số biến đổi ngẫu nhiên: Lý thuyết toán học về các hệ thống cờ bạc), được hướng dẫn bởi Joseph L. Doob.

2. Sự nghiệp

Ngay sau khi tốt nghiệp, Halmos chuyển đến Viện Nghiên cứu Cao cấp Princeton mà không có việc làm hay tài trợ. Sáu tháng sau, ông bắt đầu làm việc dưới sự hướng dẫn của John von Neumann, một trải nghiệm mà ông coi là mang tính quyết định trong sự nghiệp của mình. Trong thời gian ở Viện, Halmos đã viết cuốn sách đầu tiên của mình, Không gian vectơ hữu hạn chiều (Finite-Dimensional Vector Spaces), ngay lập tức khẳng định danh tiếng của ông như một nhà truyền bá toán học xuất sắc.

Từ năm 1967 đến 1968, ông là Giảng viên Toán học Donegall tại Đại học Trinity Dublin. Halmos đã giảng dạy tại nhiều trường đại học danh tiếng khác nhau, bao gồm Đại học Syracuse, Đại học Chicago (1946-1960), Đại học Michigan (khoảng 1961-1967), Đại học Hawaii (1967-1968), Đại học Indiana (1969-1985), và Đại học California tại Santa Barbara (1976-1978). Từ khi nghỉ hưu tại Đại học Indiana vào năm 1985 cho đến khi qua đời vào năm 2006, ông liên kết với khoa Toán tại Đại học Santa Clara.

3. Đóng góp Toán học

Paul Halmos đã có những đóng góp nền tảng trong nhiều lĩnh vực toán học, đồng thời nổi bật với khả năng truyền đạt các khái niệm phức tạp một cách rõ ràng và hấp dẫn.

3.1. Các lĩnh vực nghiên cứu chính

Paul Halmos đã có những đóng góp cơ bản trong các lĩnh vực logic toán học, lý thuyết xác suất, lý thuyết toán tử, lý thuyết ergodic, giải tích hàm, và thống kê học, đặc biệt là trong nghiên cứu về không gian Hilbert.

3.2. Đại số đa nguyên và Logic đại số

Trong một loạt các bài báo được tái bản trong cuốn sách Logic đại số (Algebraic Logic) năm 1962 của ông, Halmos đã phát triển đại số đa nguyên (polyadic algebras). Đây là một phiên bản đại số của logic vị từ bậc nhất, khác biệt so với các đại số hình trụ (cylindric algebras) nổi tiếng hơn của Alfred Tarski và các học trò của ông. Một phiên bản cơ bản của đại số đa nguyên được mô tả trong đại số Boole đơn nguyên (monadic Boolean algebra).

3.3. Kỹ năng truyền bá Toán học

Ngoài những đóng góp nguyên bản cho toán học, Halmos còn nổi tiếng là một nhà truyền bá toán học cấp đại học cực kỳ rõ ràng và hấp dẫn. Ông đã hai lần đoạt Giải thưởng Lester R. Ford vào các năm 1971 và 1977 (lần sau cùng với W. P. Ziemer, W. H. Wheeler, S. H. Moolgavkar, J. H. Ewing và W. H. Gustafson). Năm 1973, ông làm chủ tịch ủy ban của Hội Toán học Hoa Kỳ (AMS) đã biên soạn cuốn cẩm nang phong cách AMS cho toán học học thuật. Năm 1983, ông nhận Giải thưởng Leroy P. Steele của AMS cho công trình truyền bá kiến thức.

Trong bài viết "Mathematics as a Creative Art" (Toán học là một nghệ thuật sáng tạo) trên tạp chí American Scientist số 56(4) năm 1968, Halmos lập luận rằng toán học là một nghệ thuật sáng tạo, và các nhà toán học nên được xem là những nghệ sĩ, chứ không phải những người "xử lý số liệu" (number crunchers). Ông đã thảo luận về sự phân chia lĩnh vực toán học thành "mathology" và "mathophysics", và tiếp tục lập luận rằng các nhà toán học và họa sĩ có cách tư duy và làm việc tương tự nhau. Trong hồi ký của mình, Halmos đã đưa ra quan điểm về ý nghĩa của việc làm toán: "Đừng chỉ đọc nó; hãy chiến đấu với nó! Hãy tự đặt câu hỏi, tự tìm ví dụ, tự khám phá chứng minh của riêng bạn. Giả thuyết có cần thiết không? Mệnh đề đảo có đúng không? Điều gì xảy ra trong trường hợp đặc biệt cổ điển? Còn các trường hợp suy biến thì sao? Chứng minh sử dụng giả thuyết ở đâu?" Ông cũng chia sẻ về những phẩm chất cần có để trở thành một nhà toán học: "Bạn phải sinh ra đúng cách, bạn phải không ngừng phấn đấu để trở nên hoàn hảo, bạn phải yêu toán học hơn bất cứ điều gì khác, bạn phải làm việc chăm chỉ và không ngừng nghỉ, và bạn không bao giờ được bỏ cuộc."

4. Sách và Công trình Xuất bản

Paul Halmos là tác giả của nhiều cuốn sách toán học kinh điển, được đánh giá cao về sự rõ ràng và ảnh hưởng sâu rộng đến việc giảng dạy và nghiên cứu toán học.

4.1. Các tác phẩm tiêu biểu

Paul Halmos là tác giả của nhiều cuốn sách toán học có ảnh hưởng lớn, được biết đến với phong cách viết rõ ràng và dễ hiểu. Các tác phẩm tiêu biểu của ông bao gồm:

  • 1942. Không gian vectơ hữu hạn chiều (Finite-Dimensional Vector Spaces). Cuốn sách này ngay lập tức đã khẳng định danh tiếng của ông như một nhà truyền bá toán học xuất sắc.
  • 1950. Lý thuyết độ đo (Measure Theory). Trong cuốn sách này, ông đã phổ biến việc sử dụng ký hiệu "mộ bia" (tombstone) để đánh dấu kết thúc một chứng minh.
  • 1951. Introduction to Hilbert Space and the Theory of Spectral Multiplicity.
  • 1956. Lectures on Ergodic Theory.
  • 1960. Lý thuyết tập hợp ngây thơ (Naive Set Theory).
  • 1962. Algebraic Logic.
  • 1963. Lectures on Boolean Algebras.
  • 1967. A Hilbert Space Problem Book.
  • 1973. (cùng với Norman Steenrod, Menahem M. Schiffer, và Jean A. Dieudonné). How to Write Mathematics.
  • 1978. (cùng với V. S. Sunder). Bounded Integral Operators on L2 Spaces.
  • 1985. Tôi muốn trở thành một nhà toán học (I Want to Be a Mathematician). Đây là một cuốn "tự toán học sử" (automathography), tập trung gần như hoàn toàn vào cuộc đời ông với tư cách là một nhà toán học, chứ không phải cuộc sống cá nhân.
  • 1987. I Have a Photographic Memory.
  • 1991. Problems for Mathematicians, Young and Old, thuộc loạt Dolciani Mathematical Expositions, Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ.
  • 1996. Linear Algebra Problem Book, thuộc loạt Dolciani Mathematical Expositions, Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ.
  • 1998. (cùng với Steven Givant). Logic as Algebra, Dolciani Mathematical Expositions No. 21, Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ.
  • 2009. (xuất bản sau khi ông qua đời, cùng với Steven Givant). Introduction to Boolean Algebras.

5. Đổi mới trong Ký hiệu và Thực hành Toán học

Trong hồi ký của mình, Halmos tuyên bố đã phát minh ra ký hiệu "iff" (viết tắt của "if and only if" - nếu và chỉ nếu) và là người đầu tiên sử dụng ký hiệu "mộ bia" (∎, Unicode U+220E) để biểu thị kết thúc một chứng minh. Điều này thường được chấp nhận rộng rãi trong cộng đồng toán học. Ký hiệu mộ bia ∎ đôi khi còn được gọi là halmos.

6. Giải thưởng và Vinh danh

Paul Halmos đã nhận được nhiều giải thưởng và vinh dự cao quý, ghi nhận những đóng góp xuất sắc của ông trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là khả năng truyền đạt kiến thức.

6.1. Giải thưởng về Viết và Giảng dạy

Paul Halmos đã nhận được nhiều giải thưởng danh giá cho những đóng góp của mình trong lĩnh vực toán học và giáo dục:

  • Giải thưởng Lester R. Ford: Ông đã hai lần được vinh danh vào các năm 1971 và 1977.
  • Giải thưởng Leroy P. Steele cho công trình truyền bá kiến thức: Được trao bởi Hội Toán học Hoa Kỳ vào năm 1983.
  • Giải thưởng Deborah và Franklin H. Haimo cho Giảng dạy Toán học Đại học hoặc Cao đẳng Xuất sắc: Ông nhận giải thưởng này vào năm 1994.

7. Cuộc sống Cá nhân và Triết lý Toán học

Paul Halmos đã viết cuốn "tự toán học sử" (automathography) có tựa đề Tôi muốn trở thành một nhà toán học (I Want to Be a Mathematician) vào năm 1985. Ông gọi đây là "automathography" thay vì "autobiography" (tự truyện) vì cuốn sách tập trung gần như hoàn toàn vào cuộc đời ông với tư cách là một nhà toán học, chứ không phải cuộc sống cá nhân. Trong tác phẩm này và các bài viết khác, Halmos đã lập luận mạnh mẽ rằng toán học là một nghệ thuật sáng tạo, và các nhà toán học nên được xem là những nghệ sĩ.

Năm 2005, Halmos và vợ ông, Virginia Halmos, đã tài trợ cho việc thành lập Giải thưởng Sách Euler, một giải thưởng thường niên do Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ trao tặng cho một cuốn sách có khả năng nâng cao cái nhìn của công chúng về toán học. Giải thưởng đầu tiên được trao vào năm 2007, nhân kỷ niệm 300 năm ngày sinh của Leonhard Euler, cho John Derbyshire với cuốn sách của ông về Bernhard Riemann và Giả thuyết Riemann có tựa đề Prime Obsession. Năm 2009, George Csicsery đã đưa Halmos vào một bộ phim tài liệu cũng có tên I Want to Be a Mathematician.

8. Qua đời

Paul Halmos qua đời vào ngày 2 tháng 10 năm 2006, ở tuổi 90, để lại một di sản toán học và giáo dục đồ sộ.

9. Di sản và Ảnh hưởng

Di sản của Paul Halmos đối với cộng đồng toán học là vô cùng to lớn. Ông không chỉ là một nhà nghiên cứu xuất sắc với những đóng góp nền tảng trong nhiều lĩnh vực mà còn là một nhà giáo dục và truyền bá kiến thức bậc thầy. Các cuốn sách của ông, đặc biệt là những tác phẩm kinh điển như Finite-Dimensional Vector Spaces và Naive Set Theory, đã định hình cách giảng dạy toán học trong nhiều thập kỷ và ảnh hưởng đến vô số thế hệ nhà toán học. Khả năng trình bày các khái niệm phức tạp một cách rõ ràng, dễ hiểu cùng với triết lý "chiến đấu với toán học" của ông đã khuyến khích một cách tiếp cận chủ động và sâu sắc hơn trong học tập và nghiên cứu. Việc ông phổ biến các ký hiệu như "iff" và "mộ bia" đã trở thành một phần không thể thiếu trong thực hành toán học hiện đại. Thông qua các giải thưởng và nỗ lực từ thiện như Giải thưởng Sách Euler, ông đã góp phần nâng cao nhận thức và sự yêu thích toán học trong công chúng.