Gottlob Frege

1.1. Thời thơ ấu và Bối cảnh

Frege sinh năm 1848 tại Wismar, thuộc Đại công quốc Mecklenburg-Schwerin (ngày nay là một phần của Mecklenburg-Vorpommern, Đức). Cha của ông, Carl Alexander Frege (1809-1866), là người đồng sáng lập và hiệu trưởng một trường trung học nữ cho đến khi ông qua đời. Sau cái chết của Carl, trường học được điều hành bởi mẹ của Frege, bà Auguste Wilhelmine Sophie Frege (nhũ danh Bialloblotzky, 12 tháng 1 năm 1815 - 14 tháng 10 năm 1898). Bà ngoại của Frege là Auguste Amalia Maria Ballhorn, một hậu duệ của Philipp Melanchthon, còn ông ngoại là Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, một hậu duệ của một gia đình quý tộc Ba Lan đã rời Ba Lan vào thế kỷ 17. Frege là một tín đồ Tin Lành Luther.

Trong thời thơ ấu, Frege đã tiếp xúc với những triết lý định hướng cho sự nghiệp khoa học tương lai của mình. Chẳng hạn, cha ông đã viết một sách giáo khoa tiếng Đức cho trẻ em từ 9 đến 13 tuổi, có tựa đề Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (xuất bản lần 2, Wismar 1850; xuất bản lần 3, Wismar và Ludwigslust: Hinstorff, 1862). Phần đầu tiên của cuốn sách này đã đề cập đến cấu trúc và logic của ngôn ngữ.

Frege học tại Große Stadtschule Wismar^German và tốt nghiệp vào năm 1869. Giáo viên toán học và khoa học tự nhiên của ông, Gustav Adolf Leo Sachse (1843-1909), người cũng là một nhà thơ, đã đóng vai trò quan trọng trong việc định hướng sự nghiệp khoa học tương lai của Frege, khuyến khích ông tiếp tục học tại Đại học Jena, ngôi trường cũ của chính Sachse.

1.2. Học vấn

Frege nhập học Đại học Jena vào mùa xuân năm 1869 với tư cách là công dân của Liên bang Bắc Đức. Trong bốn học kỳ học tập tại đây, ông đã tham gia khoảng hai mươi khóa giảng, phần lớn trong số đó là về toán học và vật lý. Giáo viên quan trọng nhất của ông là Ernst Karl Abbe (1840-1905), một nhà vật lý, toán học và nhà phát minh. Abbe đã giảng các bài về lý thuyết trọng lực, điện sinh lý học và điện động lực học, lý thuyết giải tích phức của các hàm biến phức, các ứng dụng của vật lý, các phân ngành chọn lọc của cơ học và cơ học chất rắn. Abbe không chỉ là một người thầy đối với Frege; ông còn là một người bạn đáng tin cậy, và với tư cách là giám đốc của nhà sản xuất quang học Carl Zeiss AG, ông có vị trí để thúc đẩy sự nghiệp của Frege. Sau khi Frege tốt nghiệp, họ đã có những trao đổi thư từ gần gũi hơn.

Các giáo viên đại học đáng chú ý khác của ông bao gồm Christian Philipp Karl Snell (1806-1886), người giảng về việc sử dụng giải tích vô cùng nhỏ trong hình học, hình học giải tích của mặt phẳng, cơ học giải tích, quang học và các nền tảng vật lý của cơ học; Hermann Schaeffer (1824-1900), người giảng về hình học giải tích, vật lý ứng dụng, giải tích đại số, về điện báo và các thiết bị điện tử khác; và nhà triết học Kuno Fischer (1824-1907), người giảng về chủ nghĩa Kant và triết học phê phán.

Bắt đầu từ năm 1871, Frege tiếp tục học tại Đại học Göttingen, trường đại học hàng đầu về toán học trong các vùng nói tiếng Đức. Tại đây, ông đã tham gia các bài giảng của Alfred Clebsch (1833-1872) về hình học giải tích; Ernst Christian Julius Schering (1824-1897) về lý thuyết hàm; Wilhelm Eduard Weber (1804-1891) về các nghiên cứu vật lý và vật lý ứng dụng; Eduard Riecke (1845-1915) về lý thuyết điện; và Hermann Lotze (1817-1881) về triết học tôn giáo. Nhiều học thuyết triết học của Frege khi trưởng thành có những điểm tương đồng với Lotze; việc có hay không một ảnh hưởng trực tiếp từ các bài giảng của Lotze đối với quan điểm của Frege đã là chủ đề của các cuộc tranh luận học thuật.

Năm 1873, Frege nhận bằng tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của Ernst Christian Julius Schering, với luận án có tựa đề "Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene" ("Về một biểu diễn hình học của các hình thức tưởng tượng trong một mặt phẳng"). Trong luận án này, ông nhằm mục đích giải quyết các vấn đề cơ bản trong hình học như diễn giải toán học các điểm vô cùng xa (tưởng tượng) của hình học xạ ảnh.

1.3. Hôn nhân và Gia đình

Frege kết hôn với Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (15 tháng 2 năm 1856 - 25 tháng 6 năm 1904) vào ngày 14 tháng 3 năm 1887. Cặp đôi này có ít nhất hai người con, nhưng không may, cả hai đều qua đời khi còn nhỏ. Nhiều năm sau, họ nhận nuôi một người con trai tên là Alfred. Rất ít thông tin khác được biết về cuộc sống gia đình của Frege.

1.4. Sự nghiệp học thuật

Năm 1874, Frege hoàn thành Habilitation tại Jena và trở thành Privatdozent (giảng viên tư nhân). Năm 1879, ông được bổ nhiệm làm Ausserordentlicher Professor (phó giáo sư) tại Jena. Đến năm 1896, ông được thăng chức thành Ordentlicher Honorarprofessor (giáo sư danh dự chính thức) tại Jena. Ông nghỉ hưu vào năm 1918 và qua đời vào ngày 26 tháng 7 năm 1925 tại Bad Kleinen, một thị trấn nhỏ ở Mecklenburg-Vorpommern.

2.1. Begriffsschrift và Nền tảng của Logic Hiện đại

Mặc dù giáo dục và công trình toán học ban đầu của Frege chủ yếu tập trung vào hình học, nhưng công việc của ông nhanh chóng chuyển sang logic. Tác phẩm Begriffsschrift (Khái niệm ký hiệu: Một ngôn ngữ hình thức của tư duy thuần túy mô phỏng theo ngôn ngữ số học) của ông, xuất bản năm 1879, đánh dấu một bước ngoặt trong lịch sử logic. Begriffsschrift đã mở ra những hướng đi mới, bao gồm một cách xử lý chặt chẽ các ý tưởng về hàm số và biến số. Mục tiêu của Frege là chứng minh rằng toán học phát triển từ logic, và khi làm như vậy, ông đã phát minh ra các kỹ thuật tách biệt ông khỏi logic tam đoạn luận của Aristotle nhưng lại đưa ông đến gần hơn với logic mệnh đề của Trường phái Khắc kỷ.

Trên thực tế, Frege đã phát minh ra logic vị từ tiên đề hóa, phần lớn nhờ vào việc ông đã phát minh ra các biến được lượng hóa, sau này trở nên phổ biến trong toán học và logic, và đã giải quyết được vấn đề đa lượng hóa. Logic trước đây đã xử lý các hằng số logic như và, hoặc, nếu... thì..., không, và một số và tất cả, nhưng các phép lặp lại của các phép toán này, đặc biệt là "một số" và "tất cả", ít được hiểu rõ: ngay cả sự phân biệt giữa một câu như "mọi chàng trai yêu một cô gái nào đó" và "một cô gái nào đó được mọi chàng trai yêu" cũng chỉ có thể được biểu diễn một cách rất nhân tạo, trong khi hình thức hóa của Frege không gặp khó khăn gì khi diễn đạt các cách đọc khác nhau của "mọi chàng trai yêu một cô gái nào đó yêu một chàng trai nào đó yêu một cô gái nào đó" và các câu tương tự, hoàn toàn song song với cách ông xử lý, chẳng hạn, "mọi chàng trai đều ngu ngốc".

Một ví dụ thường được nhắc đến là logic của Aristotle không thể biểu diễn các phát biểu toán học như Định lý Euclid, một phát biểu cơ bản của lý thuyết số rằng có vô số số nguyên tố. Tuy nhiên, "ký hiệu khái niệm" của Frege có thể biểu diễn những suy luận như vậy. Việc phân tích các khái niệm logic và bộ máy hình thức hóa vốn là yếu tố thiết yếu của Principia Mathematica (3 tập, 1910-1913, của Bertrand Russell và Alfred North Whitehead), của lý thuyết mô tả của Russell, của định lý bất toàn của Gödel của Kurt Gödel, và của lý thuyết chân lý của Alfred Tarski, cuối cùng đều bắt nguồn từ Frege.

Một trong những mục đích đã nêu của Frege là cô lập các nguyên tắc suy luận thực sự logic, để trong biểu diễn đúng đắn của chứng minh toán học, người ta sẽ không ở bất kỳ điểm nào viện dẫn đến "trực giác". Nếu có một yếu tố trực giác, nó sẽ được cô lập và biểu diễn riêng biệt như một tiên đề: từ đó trở đi, chứng minh sẽ hoàn toàn logic và không có lỗ hổng. Sau khi chứng minh khả năng này, mục đích lớn hơn của Frege là bảo vệ quan điểm rằng số học là một nhánh của logic, một quan điểm được gọi là chủ nghĩa logic: không giống như hình học, số học được chứng minh là không có cơ sở trong "trực giác", và không cần các tiên đề phi logic. Ngay trong Begriffsschrift năm 1879, các định lý sơ bộ quan trọng, ví dụ, một dạng tổng quát của định luật tam phân, đã được suy ra trong cái mà Frege hiểu là logic thuần túy.

Các ký hiệu của Frege trong Begriffsschrift và cách biểu diễn hiện đại của chúng được thể hiện trong bảng sau:

Khái niệm	Ký hiệu trong Begriffsschrift	Ký hiệu hiện đại
Phủ định		$\backslash lnot\; A$
Hàm ý		$B\backslash implies\; A$
Lượng hóa toàn thể		$\backslash forall\; x\backslash colon\; F(x)$
Lượng hóa tồn tại		$\backslash exists\; x\backslash colon\; F(x)$
Đồng nhất thức	$A\backslash equiv\; B$	$A\backslash iff\; B$

2.2. Chủ nghĩa Logic và Die Grundlagen der Arithmetik

Ý tưởng này đã được trình bày bằng các thuật ngữ phi biểu tượng trong cuốn sách Die Grundlagen der Arithmetik (Các nền tảng của số học, 1884) của ông. Trong tác phẩm này, Frege đã phê phán mạnh mẽ chủ nghĩa tâm lý trong toán học, lập luận rằng các khái niệm toán học và logic không nên được giải thích dựa trên các yếu tố tâm lý chủ quan, mà phải dựa trên tính khách quan và độc lập với tâm trí con người. Ông khẳng định rằng khái niệm về số là một khái niệm phân tích, không phải là khái niệm tổng hợp.

2.3. Grundgesetze der Arithmetik và Chương trình Logic

Sau đó, trong cuốn Basic Laws of Arithmetic (Grundgesetze der Arithmetik, tập 1, 1893; tập 2, 1903; tập 2 được xuất bản bằng chi phí của ông), Frege đã cố gắng suy ra tất cả các định luật của số học từ các tiên đề mà ông khẳng định là logic, bằng cách sử dụng ký hiệu của mình. Hầu hết các tiên đề này đều được chuyển từ Begriffsschrift của ông, mặc dù có một số thay đổi đáng kể. Nguyên lý thực sự mới là cái mà ông gọi là Luật Cơ bản V: "phạm vi giá trị" của hàm f(x) giống với "phạm vi giá trị" của hàm g(x) khi và chỉ khi ∀x[f(x) = g(x)].

Trường hợp quan trọng của luật này có thể được trình bày bằng ký hiệu hiện đại như sau. Gọi {x|Fx} là phần mở rộng của vị từ Fx, tức là tập hợp tất cả các F, và tương tự cho Gx. Khi đó, Luật Cơ bản V nói rằng các vị từ Fx và Gx có cùng phần mở rộng khi và chỉ khi ∀x[Fx ↔ Gx]. Tập hợp các F giống với tập hợp các G chỉ khi mọi F là một G và mọi G là một F. (Trường hợp này đặc biệt vì cái được gọi là phần mở rộng của một vị từ, hoặc một tập hợp, chỉ là một loại "phạm vi giá trị" của một hàm.)

Trong một sự kiện nổi tiếng, Bertrand Russell đã viết thư cho Frege, ngay khi tập 2 của Grundgesetze sắp được in vào năm 1903, chỉ ra rằng Nghịch lý Russell có thể được suy ra từ Luật Cơ bản V của Frege. Rất dễ định nghĩa quan hệ thành viên của một tập hợp hoặc phần mở rộng trong hệ thống của Frege; Russell sau đó đã chỉ ra "tập hợp các thứ x sao cho x không phải là thành viên của x". Hệ thống của Grundgesetze ngụ ý rằng tập hợp được mô tả như vậy vừa là vừa không phải là thành viên của chính nó, và do đó là không nhất quán. Frege đã viết một phụ lục vội vàng, vào phút cuối cho tập 2, suy ra mâu thuẫn và đề xuất loại bỏ nó bằng cách sửa đổi Luật Cơ bản V. Frege mở đầu phụ lục bằng lời bình luận đặc biệt trung thực: "Hầu như không có điều gì bất hạnh hơn có thể xảy ra với một nhà văn khoa học hơn là một trong những nền tảng của công trình của mình bị lung lay sau khi công việc đã hoàn thành. Đây là vị trí mà tôi đã bị đặt vào bởi một lá thư của ông Bertrand Russell, ngay khi việc in ấn tập này sắp hoàn tất."

Biện pháp khắc phục được Frege đề xuất sau đó đã được chứng minh là ngụ ý rằng chỉ có một đối tượng trong vũ trụ diễn ngôn, và do đó là vô giá trị (thực tế, điều này sẽ tạo ra một mâu thuẫn trong hệ thống của Frege nếu ông đã tiên đề hóa ý tưởng, cơ bản cho cuộc thảo luận của ông, rằng Chân lý và Sai lầm là các đối tượng riêng biệt), nhưng công trình gần đây đã chỉ ra rằng phần lớn chương trình của Grundgesetze có thể được cứu vãn bằng những cách khác:

• Luật Cơ bản V có thể được làm yếu theo những cách khác. Cách nổi tiếng nhất là của nhà triết học và logic học toán học George Boolos (1940-1996), một chuyên gia về công trình của Frege. Một "khái niệm" F là "nhỏ" nếu các đối tượng thuộc F không thể được đặt vào tương ứng một-một với vũ trụ diễn ngôn, tức là, trừ khi: ∃R[R là 1-1 & ∀x∃y(xRy & Fy)]. Bây giờ làm yếu V thành V*: một "khái niệm" F và một "khái niệm" G có cùng "phần mở rộng" khi và chỉ khi cả F lẫn G đều không nhỏ hoặc ∀x(Fx ↔ Gx). V* là nhất quán nếu số học bậc hai là nhất quán, và đủ để chứng minh các tiên đề của số học bậc hai.
• Luật Cơ bản V có thể đơn giản được thay thế bằng Nguyên lý Hume, nói rằng số lượng F giống với số lượng G khi và chỉ khi các F có thể được đặt vào một tương ứng một-một với các G. Nguyên lý này cũng nhất quán nếu số học bậc hai là nhất quán, và đủ để chứng minh các tiên đề của số học bậc hai. Kết quả này được gọi là Định lý Frege vì người ta nhận thấy rằng trong việc phát triển số học, việc sử dụng Luật Cơ bản V của Frege bị giới hạn trong một chứng minh của Nguyên lý Hume; từ đó, các nguyên tắc số học được suy ra.
• Logic của Frege, hiện được gọi là logic bậc hai, có thể được làm yếu thành cái gọi là logic bậc hai tính vị từ. Logic bậc hai tính vị từ cộng với Luật Cơ bản V được chứng minh là nhất quán bằng các phương pháp chủ nghĩa hữu hạn hoặc chủ nghĩa kiến tạo (toán học), nhưng nó chỉ có thể diễn giải các phân đoạn rất yếu của số học.

2.4. Ảnh hưởng đến Logic Toán học

Công trình của Frege trong logic ít được chú ý trên trường quốc tế cho đến năm 1903 khi Russell viết một phụ lục cho The Principles of Mathematics nêu rõ những khác biệt của ông với Frege. Ký hiệu biểu đồ mà Frege sử dụng không có tiền lệ (và không có người bắt chước nào kể từ đó). Hơn nữa, cho đến khi Principia Mathematica (3 tập) của Russell và Whitehead xuất hiện vào năm 1910-1913, phương pháp tiếp cận chủ đạo đối với logic toán học vẫn là của George Boole (1815-1864) và những người kế thừa trí tuệ của ông, đặc biệt là Ernst Schröder (1841-1902). Tuy nhiên, các ý tưởng logic của Frege đã lan truyền thông qua các tác phẩm của học trò ông là Rudolf Carnap (1891-1970) và những người ngưỡng mộ khác, đặc biệt là Bertrand Russell và Ludwig Wittgenstein (1889-1951).

3.1. Sinn und Bedeutung (Ý nghĩa và Vật quy chiếu)

Bài viết năm 1892 của Frege, "Über Sinn und Bedeutung" ("Về Ý nghĩa và Vật quy chiếu"), đã giới thiệu sự phân biệt có ảnh hưởng lớn của ông giữa ý nghĩa ("Sinn") và vật quy chiếu ("Bedeutung", cũng đã được dịch là "nghĩa" hoặc "sự chỉ định"). Trong khi các cách giải thích thông thường về ý nghĩa cho rằng các biểu thức chỉ có một đặc điểm (vật quy chiếu), Frege đã đưa ra quan điểm rằng các biểu thức có hai khía cạnh ý nghĩa khác nhau: ý nghĩa của chúng và vật quy chiếu của chúng.

Vật quy chiếu (hoặc "Bedeutung") áp dụng cho tên riêng, trong đó một biểu thức nhất định (chẳng hạn biểu thức "Tom") đơn giản là chỉ đến thực thể mang tên đó (người tên Tom). Frege cũng cho rằng các mệnh đề có một mối quan hệ quy chiếu với giá trị chân lý của chúng (nói cách khác, một phát biểu "quy chiếu" đến giá trị chân lý mà nó nhận được). Ngược lại, ý nghĩa (hoặc "Sinn") liên kết với một câu hoàn chỉnh là tư tưởng mà nó biểu đạt. Ý nghĩa của một biểu thức được cho là "phương thức trình bày" của đối tượng được quy chiếu, và có thể có nhiều phương thức biểu diễn cho cùng một vật quy chiếu.

Sự phân biệt này có thể được minh họa như sau: Trong cách sử dụng thông thường của chúng, tên "Charles Philip Arthur George Mountbatten-Windsor", mà vì mục đích logic là một tổng thể không thể phân tích, và biểu thức chức năng "Vua của Vương quốc Anh", chứa các phần quan trọng "Vua của ξ" và "Vương quốc Anh", có cùng vật quy chiếu, cụ thể là người được biết đến nhiều nhất với tên Vua Charles III. Nhưng ý nghĩa của từ "Vương quốc Anh" là một phần của ý nghĩa của biểu thức sau, nhưng không phải là một phần của ý nghĩa của "tên đầy đủ" của Vua Charles.

Những phân biệt này đã bị Bertrand Russell tranh cãi, đặc biệt trong bài viết "On Denoting" của ông; cuộc tranh cãi đã tiếp tục cho đến hiện tại, đặc biệt được thúc đẩy bởi các bài giảng nổi tiếng "Naming and Necessity" của Saul Kripke.

3.2. Begriff und Gegenstand (Khái niệm và Đối tượng)

Frege cũng đã phân tích sự khác biệt giữa khái niệm (concept) và đối tượng (object) trong hệ thống triết học của mình. Theo ông, khái niệm là một "hàm số" mà giá trị của nó là một giá trị chân lý, trong khi đối tượng là một thực thể hoàn chỉnh, độc lập và không cần bổ sung thêm. Sự phân biệt này là nền tảng cho lý thuyết về ý nghĩa và vật quy chiếu của ông.

3.3. Các Khái niệm Triết học Ngôn ngữ Khác

Ngoài ra, Frege còn đưa ra các nguyên lý quan trọng khác trong triết học ngôn ngữ của mình. Nguyên lý thành phần (Principle of Compositionality) khẳng định rằng ý nghĩa của một biểu thức phức tạp được xác định bởi ý nghĩa của các thành phần của nó và cách chúng được kết hợp. Nguyên lý ngữ cảnh (Context Principle) nhấn mạnh rằng một từ chỉ có ý nghĩa trong ngữ cảnh của một câu hoàn chỉnh, không phải khi nó đứng riêng lẻ. Những nguyên lý này đã định hình sâu sắc triết học ngôn ngữ hiện đại.

4.1. Phê phán Chủ nghĩa Tâm lý

Là một nhà triết học toán học, Frege đã tấn công sự viện dẫn chủ nghĩa tâm lý vào các giải thích tinh thần về nội dung của phán đoán hoặc ý nghĩa của các câu. Mục đích ban đầu của ông rất xa vời với việc trả lời các câu hỏi chung về ý nghĩa; thay vào đó, ông đã phát minh ra logic của mình để khám phá các nền tảng của số học, nhằm trả lời các câu hỏi như "Số là gì?" hoặc "Những đối tượng nào mà các từ số ('một', 'hai', v.v.) quy chiếu đến?". Nhưng khi theo đuổi những vấn đề này, cuối cùng ông thấy mình phải phân tích và giải thích ý nghĩa là gì, và do đó đã đi đến một số kết luận có ý nghĩa lớn đối với quá trình tiếp theo của triết học phân tích và triết học ngôn ngữ.

4.2. Chủ nghĩa Plato

Frege đã phân tích quan điểm hiện thực về các đối tượng trừu tượng (chủ nghĩa Plato) của mình, đặc biệt đối với số và mệnh đề. Ông tin rằng các đối tượng toán học và các tư tưởng logic tồn tại độc lập với tâm trí con người, trong một "vương quốc thứ ba" khách quan, không phải là thế giới vật lý và cũng không phải là thế giới tinh thần chủ quan. Quan điểm này là nền tảng cho chương trình chủ nghĩa logic của ông, nhằm xây dựng toán học trên cơ sở logic thuần túy.

7.1. Sự lãng quên ban đầu và Tái khám phá

Trong suốt cuộc đời mình, các tác phẩm của Frege ít được công nhận. Hệ thống ký hiệu độc đáo và phức tạp của ông, cùng với sự tiên phong của các ý tưởng, đã khiến chúng khó tiếp cận đối với nhiều học giả đương thời. Tuy nhiên, sự xuất hiện của các nhà tư tưởng như Giuseppe Peano, Bertrand Russell và Ludwig Wittgenstein đã giúp tái khám phá và phổ biến công trình của ông, đặc biệt là trong lĩnh vực logic toán học và triết học phân tích.

7.2. Ảnh hưởng đến Triết học Phân tích và các Nhà tư tưởng sau này

Tư tưởng của Frege đã định hình sâu sắc các nhà triết học phân tích quan trọng như Ludwig Wittgenstein và Bertrand Russell. Các khái niệm của ông về ý nghĩa và vật quy chiếu, sự phân biệt giữa khái niệm và đối tượng, cùng với việc phát triển logic vị từ, đã trở thành nền tảng cho triết học ngôn ngữ và triết học logic trong thế kỷ 20. Russell đã cố gắng xây dựng lại chương trình chủ nghĩa logic của Frege trong Principia Mathematica, trong khi Wittgenstein, đặc biệt trong Tractatus Logico-Philosophicus, đã chịu ảnh hưởng sâu sắc từ cách tiếp cận logic và ngôn ngữ của Frege. Rudolf Carnap, một học trò của Frege, cũng đã tiếp tục phát triển các ý tưởng của thầy mình.

7.3. Đánh giá lại Chủ nghĩa Logic Hiện đại

Sau vấn đề Nghịch lý Russell làm lung lay nền tảng của chương trình logic của Frege, đã có nhiều nỗ lực hiện đại nhằm phục hồi và bảo vệ nó. Các nhà logic học như Charles Parsons, George Boolos và Richard Heck đã chỉ ra rằng phần lớn số học có thể được suy ra từ Nguyên lý Hume (một nguyên lý mà Frege đã sử dụng để chứng minh các định lý số học) mà không cần đến Luật Cơ bản V gây mâu thuẫn. Điều này đã dẫn đến một sự đánh giá lại tích cực về tính khả thi của chủ nghĩa logic và vai trò của Frege như một người tiên phong trong lĩnh vực này.