Nhà toán họcNgười MỹNgười ÝNhà hình học vi phân

Eugenio Calabi

Eugenio Calabi, an Italian-American mathematician, advanced Kähler geometry and differential geometry, notably the Calabi Conjecture, influencing physics.

1. Tổng quan

Eugenio Calabi (11 tháng 5 năm 1923 - 25 tháng 9 năm 2023) là một nhà toán học người Mỹ gốc Ý, từng giữ chức Giáo sư Toán học Thomas A. Scott tại Đại học Pennsylvania. Ông chuyên sâu trong các lĩnh vực hình học vi phân, phương trình vi phân riêng phần và các ứng dụng của chúng. Sự nghiệp của ông được đánh dấu bởi những đóng góp đột phá trong hình học Kähler, đặc biệt là Giả thuyết Calabi và việc giới thiệu các metric Calabi-Yau, có ảnh hưởng sâu rộng đến lý thuyết dây và vật lý lý thuyết. Ông cũng có những công trình quan trọng trong giải tích hình học và hình học vi phân, bao gồm Định lý so sánh Laplace, nghiên cứu về các bề mặt cực đại, và Định lý Jörgens-Calabi-Pogorelov. Cuộc đời ông cũng phản ánh bối cảnh xã hội đầy biến động của thế kỷ 20, khi gia đình ông phải di cư từ Ý sang Hoa Kỳ do Luật chủng tộc Ý.

2. Thời niên thiếu và Giáo dục

Cuộc đời Eugenio Calabi bắt đầu tại Ý và trải qua quá trình di cư đầy biến động trước khi ông theo đuổi sự nghiệp học vấn xuất sắc tại Hoa Kỳ.

2.1. Sinh và Gia đình

Eugenio Calabi sinh ra tại Milan, Ý, vào ngày 11 tháng 5 năm 1923, trong một gia đình người Do Thái Ý. Chị gái của ông là nhà báo nổi tiếng Tullia Zevi.

2.2. Di cư do Luật Chủng tộc

Năm 1938, gia đình Calabi buộc phải rời Ý do sự ban hành của Luật chủng tộc Ý. Họ di cư đến Hoa Kỳ vào năm 1939, tìm kiếm một môi trường an toàn hơn.

2.3. Giáo dục

Vào mùa thu năm 1939, khi mới 16 tuổi, Calabi nhập học Học viện Công nghệ Massachusetts (MIT) để theo học ngành kỹ thuật hóa học. Tuy nhiên, việc học của ông bị gián đoạn khi ông được nghĩa vụ quân sự vào quân đội Hoa Kỳ năm 1943 và phục vụ trong Thế chiến thứ hai. Sau khi xuất ngũ vào năm 1946, Calabi hoàn thành bằng cử nhân của mình theo Đạo luật G.I. và được vinh danh là Putnam Fellow, một danh hiệu cao quý trong các cuộc thi toán học dành cho sinh viên đại học. Năm 1947, ông nhận bằng thạc sĩ toán học từ Đại học Illinois tại Urbana-Champaign. Đến năm 1950, ông hoàn thành bằng Tiến sĩ toán học tại Đại học Princeton. Luận án tiến sĩ của ông có tựa đề "Nhúng đẳng cự giải tích phức của đa tạp Kähler", được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Salomon Bochner.

3. Sự nghiệp Học thuật

Sự nghiệp học thuật của Eugenio Calabi trải dài qua nhiều trường đại học uy tín, nơi ông đã cống hiến cho công tác giảng dạy và nghiên cứu toán học.

3.1. Các vị trí Giáo sư và Liên kết

Từ năm 1951 đến 1955, Calabi giữ chức trợ lý giáo sư tại Đại học bang Louisiana. Sau đó, ông chuyển đến Đại học Minnesota vào năm 1955 và trở thành giáo sư chính thức vào năm 1960. Năm 1964, Calabi gia nhập khoa toán tại Đại học Pennsylvania. Sau khi Hans Rademacher nghỉ hưu, ông được bổ nhiệm vào chức danh Giáo sư Toán học Thomas A. Scott tại Đại học Pennsylvania vào năm 1968. Năm 1994, Calabi được phong tặng danh hiệu giáo sư danh dự (emeritus), và vào năm 2014, trường đại học đã trao tặng ông bằng tiến sĩ khoa học danh dự.

4. Giải thưởng và Vinh danh

Eugenio Calabi đã nhận được nhiều giải thưởng và sự công nhận danh giá trong suốt sự nghiệp của mình, phản ánh những đóng góp to lớn của ông cho lĩnh vực toán học.

Ông là một Putnam Fellow khi còn là sinh viên. Năm 1982, Calabi được bầu vào Viện Hàn lâm Khoa học Quốc gia Hoa Kỳ. Năm 1991, ông được trao Giải thưởng Leroy P. Steele từ Hội Toán học Hoa Kỳ, với lời ca ngợi cho "công trình cơ bản về hình học vi phân toàn cục, đặc biệt là hình học vi phân phức" đã "thay đổi sâu sắc cục diện của lĩnh vực này". Năm 2012, ông trở thành thành viên của Hội Toán học Hoa Kỳ. Năm 2021, ông được trao tặng Huy chương Chỉ huy Huân chương Công trạng Cộng hòa Ý.

5. Đóng góp Toán học

Eugenio Calabi đã có nhiều đóng góp quan trọng và đột phá cho lĩnh vực hình học vi phân, giải tích hình học và hình học Kähler, định hình nhiều nhánh của toán học hiện đại và có ảnh hưởng sâu sắc đến vật lý lý thuyết.

Ngoài những công trình được thảo luận chi tiết dưới đây, Calabi còn có các đóng góp khác như việc xây dựng phiên bản holomorphic của đường dài cùng với Maxwell Rosenlicht, nghiên cứu về không gian moduli của các dạng không gian, xác định khi nào một metric Riemann có thể được tìm thấy để một dạng vi phân cho trước là harmonic, và nhiều công trình khác về hình học afin. Trong các bình luận về tuyển tập công trình của mình vào năm 2021, Calabi đã trích dẫn bài báo "Các siêu mặt cầu afin không chính tắc của kiểu lồi và một sự tổng quát hóa định lý của K. Jörgens" là công trình mà ông "tự hào nhất".

5.1. Hình học Kähler

Tại Đại hội Toán học Quốc tế năm 1954, Calabi đã công bố một định lý về cách độ cong Ricci của một metric Kähler có thể được quy định. Sau đó, ông nhận ra rằng chứng minh của mình, thông qua phương pháp liên tục, có sai sót, và kết quả này trở thành Giả thuyết Calabi. Năm 1957, Calabi xuất bản một bài báo trong đó giả thuyết được trình bày như một mệnh đề, nhưng với một chứng minh chưa hoàn chỉnh. Ông đã đưa ra một chứng minh đầy đủ rằng bất kỳ nghiệm nào của bài toán phải được xác định duy nhất, nhưng chỉ có thể quy bài toán tồn tại về bài toán thiết lập các ước lượng tiên nghiệm cho một số phương trình vi phân riêng phần nhất định. Vào những năm 1970, Shing-Tung Yau bắt đầu nghiên cứu Giả thuyết Calabi, ban đầu cố gắng bác bỏ nó. Sau vài năm làm việc, ông đã tìm ra một chứng minh cho giả thuyết, và có thể thiết lập một số hệ quả hình học đại số đáng kinh ngạc từ tính hợp lệ của nó. Như một trường hợp đặc biệt của giả thuyết, các metric Kähler với độ cong Ricci bằng không được thiết lập trên một số đa tạp phức; chúng hiện được gọi là metric Calabi-Yau. Chúng đã trở nên quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết dây từ những năm 1980.

Năm 1982, Calabi giới thiệu một dòng hình học, hiện được biết đến là dòng Calabi, như một đề xuất để tìm các metric Kähler có độ cong vô hướng không đổi. Rộng hơn, Calabi đã giới thiệu khái niệm về một metric Kähler cực trị, và thiết lập (trong số các kết quả khác) rằng chúng cung cấp các cực tiểu toàn cục nghiêm ngặt của hàm Calabi và rằng bất kỳ metric độ cong vô hướng không đổi nào cũng là một cực tiểu toàn cục. Sau đó, Calabi và Xiuxiong Chen đã thực hiện một nghiên cứu sâu rộng về metric được giới thiệu bởi Toshiki Mabuchi, và chỉ ra rằng dòng Calabi làm co khoảng cách Mabuchi giữa hai metric Kähler bất kỳ. Hơn nữa, họ đã chỉ ra rằng metric Mabuchi trang bị cho không gian các metric Kähler cấu trúc của một không gian Alexandrov có độ cong không dương. Khó khăn kỹ thuật trong công trình của họ là các đường trắc địa trong bối cảnh vô hạn chiều của họ có thể có tính khả vi thấp.

Một cấu trúc nổi tiếng của Calabi là việc đặt các metric Kähler đầy đủ trên các không gian tổng của các bundle vector Hermitian mà độ cong của chúng bị chặn dưới. Trong trường hợp cơ sở là một đa tạp Kähler-Einstein đầy đủ và bundle vector có hạng một và độ cong không đổi, người ta thu được một metric Kähler-Einstein đầy đủ trên không gian tổng. Trong trường hợp bundle cotangent của một dạng không gian phức, người ta thu được một đa tạp Hyperkähler. Không gian Eguchi-Hanson là một trường hợp đặc biệt của cấu trúc Calabi.

5.2. Giải tích Hình học

Calabi đã tìm ra định lý so sánh Laplace trong hình học Riemann, liên hệ toán tử Laplace-Beltrami, khi áp dụng vào hàm khoảng cách Riemann, với độ cong Ricci. Hàm khoảng cách Riemann nói chung không khả vi ở mọi nơi, điều này gây khó khăn trong việc xây dựng một phiên bản toàn cục của định lý. Calabi đã sử dụng một khái niệm tổng quát về bất đẳng thức vi phân, có trước các nghiệm độ nhớt sau này được giới thiệu bởi Michael Crandall và Pierre-Louis Lions. Bằng cách mở rộng nguyên lý cực đại mạnh của Eberhard Hopf sang khái niệm nghiệm độ nhớt của mình, Calabi đã có thể sử dụng định lý so sánh Laplace của mình để mở rộng các kết quả gần đây của Joseph Keller và Robert Osserman sang các bối cảnh Riemann. Các mở rộng tiếp theo, dựa trên các cách sử dụng khác nhau của nguyên lý cực đại, sau đó đã được tìm thấy bởi Shiu-Yuen Cheng và Yau, cùng những người khác.

Song song với bài toán Bernstein cổ điển cho các bề mặt tối thiểu, Calabi đã xem xét bài toán tương tự cho các bề mặt cực đại, giải quyết câu hỏi trong các chiều thấp. Một câu trả lời không điều kiện sau đó đã được tìm thấy bởi Cheng và Yau, sử dụng mẹo Calabi mà Calabi đã tiên phong để vượt qua tính không khả vi của hàm khoảng cách Riemann. Trong công trình tương tự, Calabi trước đó đã xem xét các nghiệm lồi của phương trình Monge-Ampère được định nghĩa trên toàn bộ không gian Euclid và với 'vế phải' bằng một. Konrad Jörgens trước đó đã nghiên cứu bài toán này cho các hàm của hai biến, chứng minh rằng bất kỳ nghiệm nào cũng là một đa thức bậc hai. Bằng cách diễn giải bài toán như một bài toán của hình học afin, Calabi đã có thể áp dụng công trình trước đó của mình về định lý so sánh Laplace để mở rộng công trình của Jörgens sang một số chiều cao hơn. Bài toán sau đó đã được giải quyết hoàn toàn bởi Aleksei Pogorelov, và kết quả thường được gọi là Định lý Jörgens-Calabi-Pogorelov.

Sau đó, Calabi đã xem xét bài toán về siêu mặt cầu afin, đầu tiên đặc trưng các bề mặt đó là những bề mặt mà biến đổi Legendre giải một phương trình Monge-Ampère nhất định. Bằng cách điều chỉnh các phương pháp trước đó của mình trong việc mở rộng định lý Jörgens, Calabi đã có thể phân loại các siêu mặt cầu elip afin đầy đủ. Các kết quả tiếp theo sau đó đã được Cheng và Yau thu được.

5.3. Hình học Vi phân

Calabi và Beno Eckmann đã khám phá ra đa tạp Calabi-Eckmann vào năm 1953. Đa tạp này đáng chú ý vì là một đa tạp phức liên thông đơn không chấp nhận bất kỳ metric Kähler nào.

Lấy cảm hứng từ công trình gần đây của Kunihiko Kodaira, Calabi và Edoardo Vesentini đã xem xét tính cứng nhắc vô cùng nhỏ của các thương holomorphic compact của các miền Cartan. Sử dụng công thức Bochner và các phát triển của Kodaira về đối đồng điều sheaf, họ đã chứng minh tính cứng nhắc của các trường hợp chiều cao hơn. Công trình của họ đã ảnh hưởng đến công trình sau này của George Mostow và Grigori Margulis, những người đã thiết lập các kết quả cứng nhắc toàn cục của họ từ những nỗ lực để hiểu các kết quả cứng nhắc vô cùng nhỏ như của Calabi và Vesentini, cùng với các công trình liên quan của Atle Selberg và André Weil.

Calabi và Lawrence Markus đã xem xét bài toán về các dạng không gian có độ cong dương trong hình học Lorentz. Kết quả của họ, mà Joseph A. Wolf coi là "rất đáng ngạc nhiên", khẳng định rằng nhóm cơ bản phải là hữu hạn, và nhóm đẳng cự tương ứng của không thời gian de Sitter (trong điều kiện định hướng) sẽ tác động một cách trung thực bởi các đẳng cự trên một mặt cầu xích đạo. Do đó, bài toán dạng không gian của họ quy về bài toán các dạng không gian Riemann có độ cong dương.

Công trình của John Nash vào những năm 1950 đã xem xét bài toán về các nhúng đẳng cự. Công trình của ông cho thấy rằng các nhúng như vậy rất linh hoạt và dễ biến dạng. Trong luận án tiến sĩ của mình, Calabi trước đó đã xem xét trường hợp đặc biệt của các nhúng đẳng cự holomorphic vào các dạng không gian hình học phức. Một kết quả nổi bật của ông cho thấy rằng các nhúng như vậy được xác định hoàn toàn bởi hình học nội tại và độ cong của dạng không gian được đề cập. Hơn nữa, ông đã có thể nghiên cứu bài toán tồn tại thông qua việc giới thiệu hàm diastatic của mình, là một hàm được định nghĩa cục bộ được xây dựng từ các thế Kähler và bắt chước hàm khoảng cách Riemann. Calabi đã chứng minh rằng một nhúng đẳng cự holomorphic phải bảo toàn hàm diastatic. Do đó, ông đã có thể thu được một tiêu chí cho sự tồn tại cục bộ của các nhúng đẳng cự holomorphic.

Sau đó, Calabi đã nghiên cứu các bề mặt tối thiểu hai chiều (có codimension cao) trong các mặt cầu tròn. Ông đã chứng minh rằng diện tích của các bề mặt tối thiểu dạng cầu về mặt tô pô chỉ có thể nhận một tập hợp các giá trị rời rạc, và bản thân các bề mặt được phân loại bởi các đường cong hữu tỷ trong một không gian đối xứng Hermitian nhất định.

6. Đời sống Cá nhân

Eugenio Calabi kết hôn với Giuliana Segre vào năm 1952. Họ có một con trai và một con gái.

7. Qua đời

Eugenio Calabi qua đời vào ngày 25 tháng 9 năm 2023, hưởng thọ 100 tuổi, tại nhà riêng ở Bryn Mawr, Pennsylvania.

8. Di sản và Ảnh hưởng

Các công trình của Eugenio Calabi đã để lại một di sản sâu sắc và có ảnh hưởng lâu dài đến toán học hiện đại và vật lý lý thuyết. Đặc biệt, những nghiên cứu của ông trong hình học Kähler, bao gồm Giả thuyết Calabi và khái niệm đa tạp Calabi-Yau, đã trở thành nền tảng không thể thiếu trong lý thuyết dây và siêu đối xứng. Các phương pháp và ý tưởng của ông trong giải tích hình học và hình học vi phân tiếp tục được các nhà nghiên cứu sử dụng và phát triển, mở ra những hướng đi mới trong việc hiểu cấu trúc của không gian và các phương trình vi phân. Ông được nhớ đến như một nhà toán học có tầm nhìn xa, với khả năng kết nối các khái niệm trừu tượng với các vấn đề vật lý thực tiễn, góp phần định hình cảnh quan của hình học toàn cục.

9. Các Ấn phẩm Chính

Eugenio Calabi là tác giả của chưa đến năm mươi bài báo nghiên cứu. Các công trình chính của ông bao gồm:

  • Calabi, Eugenio. "Isometric imbedding of complex manifolds." Annals of Mathematics, Second Series, tập 58, số 1 (1953): 1-23.
  • Calabi, Eugenio; Eckmann, Beno. "A class of compact, complex manifolds which are not algebraic." Annals of Mathematics, Second Series, tập 58, số 3 (1953): 494-500.
  • Calabi, E. "The space of Kähler metrics." Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1954. Volume II. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1954, trang 206-207.
  • Calabi, Eugenio. "On Kähler manifolds with vanishing canonical class." Trong Algebraic Geometry and Topology: A symposium in honor of S. Lefschetz, trang 78-89. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957.
  • Calabi, E. "An extension of E. Hopf's maximum principle with an application to Riemannian geometry." Duke Mathematical Journal, tập 25 (1958): 45-56.
  • Calabi, Eugenio. "Improper affine hyperspheres of convex type and a generalization of a theorem by K. Jörgens." Michigan Mathematical Journal, tập 5, số 2 (1958): 105-126.
  • Calabi, Eugenio; Vesentini, Edoardo. "On compact, locally symmetric Kähler manifolds." Annals of Mathematics, Second Series, tập 71, số 3 (1960): 472-507.
  • Calabi, E.; Markus, L. "Relativistic space forms." Annals of Mathematics, Second Series, tập 75, số 1 (1962): 63-76.
  • Calabi, Eugenio. "Minimal immersions of surfaces in Euclidean spheres." Journal of Differential Geometry, tập 1, số 1-2 (1967): 111-125.
  • Calabi, Eugenio. "Examples of Bernstein problems for some nonlinear equations." Trong Global Analysis (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XV, Berkeley, Calif., 1968), trang 223-230. Providence, RI: American Mathematical Society, 1970.
  • Calabi, Eugenio. "Complete affine hyperspheres. I." Symposia Mathematica, tập X (Convegno di Geometria Differenziale (24-28 Maggio 1971); Convegno di Analisi Numerica (10-13 Gennaio 1972). Istituto Nazionale di Alta Matematica, Rome), trang 19-38. London: Academic Press, 1972.
  • Calabi, E. "Métriques kählériennes et fibrés holomorphes." Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Quatrième Série, tập 12, số 2 (1979): 269-294.
  • Calabi, Eugenio. "Extremal Kähler metrics." Trong Seminar on Differential Geometry, trang 259-290. Annals of Mathematics Studies, tập 102. Princeton, NJ: Princeton University Press, 1982.
  • Calabi, Eugenio. "Extremal Kähler metrics. II." Trong Differential Geometry and Complex Analysis, trang 95-114. Berlin: Springer, 1985.
  • Calabi, E.; Chen, X. X. "The space of Kähler metrics. II." Journal of Differential Geometry, tập 61, số 2 (2002): 173-193.

Tuyển tập các công trình của Calabi đã được xuất bản vào năm 2021:

  • Calabi, Eugenio. Collected Works. Biên tập bởi Jean-Pierre Bourguignon, Xiuxiong Chen, và Simon Donaldson. Berlin: Springer, 2021.