Bernard Bolzano

1.1. Nguồn gốc gia đình và thời thơ ấu

Bernard Bolzano sinh ngày 5 tháng 10 năm 1781 tại Prague, Vương quốc Bohemia. Ông là con trai của Bernard Pompeius Bolzano, một thương nhân người Ý đã chuyển đến Prague, và Maria Cecilia Maurer, một phụ nữ người Đức nói tiếng Đức đến từ một gia đình thương nhân ở Prague. Cả cha và mẹ ông đều là những tín đồ Công giáo La Mã sùng đạo. Trong số mười hai người con của họ, chỉ có hai người sống đến tuổi trưởng thành. Bolzano được nuôi dưỡng trong một gia đình thương gia và trong truyền thống sùng đạo Công giáo.

1.2. Học vấn và sự nghiệp ban đầu

Năm mười tuổi, Bolzano theo học tại Gymnasium của Piarists ở Prague từ năm 1791 đến năm 1796. Năm 1796, ông nhập học Đại học Prague, nơi ông theo học toán học, triết học và vật lý học. Bắt đầu từ năm 1800, ông cũng bắt đầu nghiên cứu thần học và được thụ phong linh mục Công giáo vào năm 1804. Cùng năm đó, ông nhận bằng Tiến sĩ với luận văn có tựa đề Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Những suy tư về một số đối tượng của hình học sơ cấp). Trong thời gian này, ông đặc biệt quan tâm đến triết học của Gottfried Leibniz và Christian Wolff, đồng thời cũng nghiên cứu sâu về Immanuel Kant, dần hình thành lập trường phản Kant của mình.

Năm 1805, ông được bổ nhiệm vào vị trí giáo sư mới về triết học tôn giáo tại Đại học Prague. Ông nhanh chóng trở thành một giảng viên nổi tiếng, không chỉ trong lĩnh vực tôn giáo mà còn trong triết học. Sự nghiệp học thuật của ông tiếp tục thăng tiến khi ông được bầu làm Trưởng khoa Triết học vào năm 1818.

2.1. Chức vụ Linh mục và Giảng dạy Tôn giáo

Bernard Bolzano được thụ phong linh mục Công giáo vào năm 1804. Ngay sau đó, vào năm 1805, ông được bổ nhiệm làm giáo sư triết học tôn giáo tại Đại học Prague. Với khả năng diễn thuyết xuất sắc, ông nhanh chóng trở thành một giảng viên được yêu mến, không chỉ trong các bài giảng về tôn giáo mà còn trong các lớp học triết học. Sự nổi tiếng của ông lan rộng, và vào năm 1818, ông được bầu làm Trưởng khoa Triết học, một minh chứng cho tầm ảnh hưởng học thuật của ông.

2.2. Quan điểm Xã hội và Chính trị

Bolzano là một người có tư tưởng tự do và tiến bộ. Ông công khai chỉ trích mạnh mẽ chủ nghĩa quân phiệt và coi chiến tranh là sự lãng phí xã hội không cần thiết. Ông kêu gọi một cuộc cải cách toàn diện hệ thống giáo dục, xã hội và kinh tế nhằm hướng lợi ích quốc gia tới hòa bình thay vì xung đột vũ trang giữa các quốc gia. Bolzano tin rằng sự phát triển của một quốc gia nên dựa trên các nguyên tắc công bằng xã hội và nhân đạo, chứ không phải sức mạnh quân sự. Ông thậm chí còn hình dung một nhà nước cộng sản theo kiểu Henri de Saint-Simon, thể hiện tầm nhìn cấp tiến của mình về một xã hội lý tưởng. Những niềm tin chính trị này, mà ông thường xuyên chia sẻ với người khác, cuối cùng đã bị chính quyền Đế quốc Áo coi là quá tự do và nguy hiểm.

2.3. Xung đột với Chính quyền và Lưu đày

Những quan điểm tự do và cấp tiến của Bolzano, đặc biệt là việc ông công khai chỉ trích chủ nghĩa quân phiệt và kêu gọi cải cách xã hội, đã khiến ông xa lánh nhiều giảng viên và lãnh đạo giáo hội đương thời. Nội dung các bài giảng của ông bị coi là mang tính chủ nghĩa Khai sáng và bị triều đình coi là nguy hiểm, đặc biệt là khi ông bị nghi ngờ có liên quan đến phong trào độc lập Séc.

Vào ngày 24 tháng 12 năm 1819, Bolzano bị cách chức giáo sư tại Đại học Prague sau khi ông từ chối rút lại niềm tin của mình. Ông bị buộc tội là người dị giáo và bị cấm xuất bản sách cũng như giảng bài về tôn giáo. Sau đó, ông bị lưu đày về vùng nông thôn. Mặc dù bị cấm xuất bản trên các tạp chí chính thống, Bolzano vẫn tiếp tục phát triển các ý tưởng của mình và công bố chúng một cách riêng lẻ hoặc trên các tạp chí ít được biết đến ở Đông Âu.

Trong thời kỳ khó khăn này, ông còn gặp phải nhiều bất hạnh cá nhân, bao gồm việc mẹ ông qua đời vào năm 1821. Tuy nhiên, vào năm 1823, ông gặp Anna Hoffmann, vợ của một thương gia ở Prague, người đã hỗ trợ ông về mặt tài chính và tinh thần cho đến khi bà qua đời vào năm 1842. Nhờ sự hỗ trợ này, Bolzano có thể tiếp tục tập trung vào các nghiên cứu triết học, xã hội, tôn giáo và toán học của mình với tư cách là một học giả độc lập. Ông trở về Prague vào năm 1842 và qua đời tại đó vào năm 1848.

3.1. Tính chặt chẽ trong Giải tích

Bolzano là một trong những nhà toán học đầu tiên nỗ lực đưa tính chặt chẽ vào giải tích toán học, đi ngược lại quan điểm phổ biến thời bấy giờ là đưa các ý tưởng trực giác như thời gian và chuyển động vào toán học. Ông đã tiên phong giới thiệu định nghĩa chặt chẽ về giới hạn theo ε-δ (epsilon-delta), một khái niệm nền tảng của giải tích hiện đại.

Ngoài ra, Bolzano là người đầu tiên nhận ra tính chất cận trên đúng của các số thực, một tính chất cơ bản cho phép xây dựng một nền tảng vững chắc cho hệ thống số thực. Ông cũng hoài nghi về khả năng của các vô cùng bé của Gottfried Leibniz, vốn là nền tảng ban đầu cho vi tích phân. Khái niệm giới hạn của Bolzano tương tự như khái niệm hiện đại: giới hạn không phải là mối quan hệ giữa các vô cùng bé, mà phải được diễn đạt bằng cách biến phụ thuộc tiến gần đến một lượng xác định khi biến độc lập tiến gần đến một lượng xác định khác.

Các tác phẩm toán học chính của ông bao gồm Beyträge zu einer begründeteren Darstellung der Mathematik (1810), Der binomische Lehrsatz (1816) và Rein analytischer Beweis (1817). Những công trình này đã trình bày "một mẫu mực về cách phát triển giải tích mới", mà mục tiêu cuối cùng của nó chỉ được hiện thực hóa khoảng 50 năm sau đó khi chúng được Karl Weierstrass chú ý.

3.2. Các Định lý và Chứng minh Quan trọng

Bolzano đã đưa ra chứng minh thuần túy giải tích đầu tiên cho định lý cơ bản của đại số, vốn ban đầu được Carl Friedrich Gauss chứng minh dựa trên các cân nhắc hình học. Ông cũng là người đầu tiên đưa ra chứng minh thuần túy giải tích cho định lý giá trị trung gian (còn được gọi là định lý Bolzano).

Ngày nay, ông được nhớ đến nhiều nhất qua định lý Bolzano-Weierstrass, một định lý quan trọng trong giải tích. Mặc dù Karl Weierstrass đã phát triển độc lập và công bố định lý này nhiều năm sau chứng minh đầu tiên của Bolzano, và ban đầu nó được gọi là định lý Weierstrass, nhưng sau khi công trình trước đó của Bolzano được tái khám phá, định lý này đã được đặt tên chung để ghi nhận đóng góp của cả hai nhà toán học.

4.1. Wissenschaftslehre (Lý thuyết Khoa học)

Tác phẩm nổi tiếng nhất của Bolzano là Wissenschaftslehre (Lý thuyết Khoa học), một công trình gồm bốn tập được xuất bản năm 1837. Tác phẩm này không chỉ đề cập đến triết học khoa học theo nghĩa hiện đại mà còn bao gồm logic học, nhận thức luận và sư phạm học khoa học. Lý thuyết logic mà Bolzano phát triển trong công trình này đã được công nhận là đột phá.

Mục tiêu chính của Wissenschaftslehre là cung cấp một nền tảng logic cho tất cả các ngành khoa học. Bolzano xây dựng hệ thống của mình dựa trên các khái niệm trừu tượng như quan hệ bộ phận-toàn thể, các đối tượng trừu tượng, thuộc tính, hình dạng câu, các ý niệm và mệnh đề tự thân (Satz an sich), các tổng và tập hợp, các tập hợp, các thực thể, các thuộc tính phụ thuộc, các ý niệm chủ quan, các phán đoán và các sự xuất hiện của câu. Những nỗ lực này là sự mở rộng tư tưởng trước đó của ông trong triết học toán học, ví dụ như trong tác phẩm Beiträge (1810) của ông, nơi ông nhấn mạnh sự phân biệt giữa mối quan hệ khách quan giữa các hệ quả logic và sự nhận thức chủ quan của chúng ta về những mối liên hệ này. Đối với Bolzano, việc chúng ta chỉ có "xác nhận" các chân lý tự nhiên hay toán học là chưa đủ; vai trò đúng đắn của các ngành khoa học (cả thuần túy và ứng dụng) là tìm kiếm "sự biện minh" dựa trên các chân lý cơ bản, dù chúng có vẻ hiển nhiên hay không đối với trực giác của chúng ta.

Bolzano bắt đầu Wissenschaftslehre bằng cách giải thích ý nghĩa của "lý thuyết khoa học" và mối quan hệ giữa kiến thức, chân lý và các ngành khoa học của chúng ta. Ông khẳng định rằng kiến thức của con người bao gồm tất cả các chân lý (hoặc mệnh đề đúng) mà con người biết hoặc đã biết. Tuy nhiên, đây chỉ là một phần rất nhỏ trong tổng số tất cả các chân lý tồn tại, và vẫn quá lớn để một người có thể hiểu hết. Do đó, kiến thức của chúng ta được chia thành các phần dễ tiếp cận hơn. Một tập hợp các chân lý như vậy được Bolzano gọi là một khoa học (Wissenschaft). Điều quan trọng cần lưu ý là không phải tất cả các mệnh đề đúng của một khoa học đều phải được con người biết đến; do đó, đây là cách chúng ta có thể khám phá ra những điều mới trong một khoa học.

Để hiểu rõ hơn các chân lý của một khoa học, con người đã tạo ra các sách giáo khoa (Lehrbuch), tất nhiên chỉ chứa các mệnh đề đúng của khoa học đã được con người biết đến. Nhưng làm thế nào để biết nơi nào để phân chia kiến thức của chúng ta, tức là những chân lý nào thuộc về nhau? Bolzano giải thích rằng cuối cùng chúng ta sẽ biết điều này thông qua một số suy tư, nhưng các quy tắc về cách phân chia kiến thức của chúng ta thành các ngành khoa học sẽ là một khoa học tự thân. Khoa học này, cho chúng ta biết những chân lý nào thuộc về nhau và nên được giải thích trong một sách giáo khoa, chính là Lý thuyết Khoa học (Wissenschaftslehre).

4.2. Chủ nghĩa Hiện thực Logic và Siêu hình học

Trong Wissenschaftslehre, Bolzano chủ yếu quan tâm đến ba lĩnh vực:
1. Lĩnh vực ngôn ngữ, bao gồm các từ và câu.
2. Lĩnh vực tư tưởng, bao gồm các ý niệm chủ quan và các phán đoán.
3. Lĩnh vực logic, bao gồm các ý niệm khách quan (hoặc biểu tượng tự thân) và mệnh đề tự thân.

Bolzano dành một phần lớn của Wissenschaftslehre để giải thích các lĩnh vực này và mối quan hệ của chúng. Hai sự phân biệt đóng vai trò nổi bật trong hệ thống của ông. Thứ nhất, sự phân biệt giữa các bộ phận và toàn thể. Ví dụ, các từ là bộ phận của câu, các ý niệm chủ quan là bộ phận của phán đoán, các ý niệm khách quan là bộ phận của mệnh đề tự thân. Thứ hai, tất cả các đối tượng được chia thành những đối tượng "tồn tại" (nghĩa là chúng có mối liên hệ nhân quả và được định vị trong thời gian và/hoặc không gian) và những đối tượng "không tồn tại". Luận điểm ban đầu của Bolzano là lĩnh vực logic được lấp đầy bởi các đối tượng thuộc loại thứ hai.

Mệnh đề tự thân (Satz an sich) là một khái niệm cơ bản trong Wissenschaftslehre của Bolzano, được giới thiệu ngay từ đầu, trong mục 19. Bolzano trước hết giới thiệu các khái niệm về mệnh đề (nói, viết, nghĩ hoặc tự thân) và ý niệm. "Cỏ có màu xanh" là một mệnh đề (Satz): trong sự kết nối các từ này, một điều gì đó được nói hoặc khẳng định. Tuy nhiên, "Cỏ" chỉ là một ý niệm (Vorstellung). Một điều gì đó được biểu thị bởi nó, nhưng nó không khẳng định bất cứ điều gì. Khái niệm mệnh đề của Bolzano khá rộng: "Một hình chữ nhật tròn" là một mệnh đề - mặc dù nó sai do tự mâu thuẫn - bởi vì nó được cấu tạo một cách dễ hiểu từ các bộ phận dễ hiểu.

Bolzano không đưa ra một định nghĩa hoàn chỉnh về Satz an Sich (tức là mệnh đề tự thân) nhưng ông cung cấp đủ thông tin để hiểu ý nghĩa của nó. Một mệnh đề tự thân (i) không có sự tồn tại (nghĩa là: nó không có vị trí trong thời gian hoặc không gian), (ii) hoặc đúng hoặc sai, độc lập với việc bất kỳ ai biết hoặc nghĩ rằng nó đúng hay sai, và (iii) là thứ được "nắm bắt" bởi các sinh vật tư duy. Vì vậy, một câu viết ('Socrates có trí tuệ') nắm bắt một mệnh đề tự thân, cụ thể là mệnh đề [Socrates có trí tuệ]. Câu viết có sự tồn tại (nó có một vị trí nhất định vào một thời điểm nhất định, ví dụ nó đang ở trên màn hình máy tính của bạn vào chính khoảnh khắc này) và diễn đạt mệnh đề tự thân thuộc về lĩnh vực tự thân (tức là an sich). (Việc Bolzano sử dụng thuật ngữ an sich khác rất nhiều so với Immanuel Kant; đối với cách sử dụng thuật ngữ của Kant, xem an sich.)

Mỗi mệnh đề tự thân được cấu tạo từ các ý niệm tự thân (để đơn giản, chúng ta sẽ dùng "mệnh đề" để chỉ "mệnh đề tự thân" và "ý niệm" để chỉ một ý niệm khách quan hoặc ý niệm tự thân). Các ý niệm được định nghĩa một cách phủ định là những bộ phận của một mệnh đề mà bản thân chúng không phải là mệnh đề. Một mệnh đề bao gồm ít nhất ba ý niệm, cụ thể là: một ý niệm chủ ngữ, một ý niệm vị ngữ và hệ từ (tức là 'có', hoặc một dạng khác của 'có'). (Mặc dù có những mệnh đề chứa các mệnh đề, chúng ta sẽ không xem xét chúng ngay bây giờ.)

Bolzano xác định một số loại ý niệm. Có những ý niệm đơn giản không có bộ phận (ví dụ Bolzano sử dụng [cái gì đó]), nhưng cũng có những ý niệm phức tạp bao gồm các ý niệm khác (Bolzano sử dụng ví dụ về [không có gì], bao gồm các ý niệm [không] và [cái gì đó]). Các ý niệm phức tạp có thể có cùng nội dung (tức là cùng các bộ phận) mà không giống nhau - vì các thành phần của chúng được kết nối khác nhau. Ý niệm [Một cây bút đen với mực xanh] khác với ý niệm [Một cây bút xanh với mực đen] mặc dù các bộ phận của cả hai ý niệm là như nhau.

Điều quan trọng là phải hiểu rằng một ý niệm không cần phải có một đối tượng. Bolzano sử dụng "đối tượng" để chỉ một cái gì đó được biểu thị bởi một ý niệm. Một ý niệm có đối tượng, biểu thị đối tượng đó. Nhưng một ý niệm không có đối tượng thì không biểu thị gì cả. (Đừng nhầm lẫn ở đây bởi thuật ngữ: một ý niệm không có đối tượng là một ý niệm không có biểu thị.)

Để giải thích thêm, hãy xem xét một ví dụ được Bolzano sử dụng. Ý niệm [một hình vuông tròn] không có đối tượng, bởi vì đối tượng lẽ ra phải được biểu thị là tự mâu thuẫn. Một ví dụ khác là ý niệm [không có gì] chắc chắn không có đối tượng. Tuy nhiên, mệnh đề [ý niệm về một hình vuông tròn có sự phức tạp] có ý niệm chủ ngữ là [ý niệm về một hình vuông tròn]. Ý niệm chủ ngữ này có đối tượng, đó là ý niệm [một hình vuông tròn]. Nhưng, ý niệm đó không có đối tượng.

Ngoài các ý niệm không có đối tượng, còn có những ý niệm chỉ có một đối tượng, ví dụ ý niệm [người đàn ông đầu tiên trên mặt trăng] chỉ biểu thị một đối tượng. Bolzano gọi những ý niệm này là 'ý niệm số ít'. Rõ ràng cũng có những ý niệm có nhiều đối tượng (ví dụ [công dân Amsterdam]) và thậm chí vô số đối tượng (ví dụ [một số nguyên tố]).

Bolzano có một lý thuyết phức tạp về cách chúng ta có thể cảm nhận mọi vật. Ông giải thích cảm giác bằng thuật ngữ trực giác, trong tiếng Đức gọi là Anschauung. Một trực giác là một ý niệm đơn giản, nó chỉ có một đối tượng (Einzelvorstellung), nhưng ngoài ra, nó còn là duy nhất (Bolzano cần điều này để giải thích cảm giác). Các trực giác (Anschauungen) là các ý niệm khách quan, chúng thuộc về lĩnh vực an sich, nghĩa là chúng không có sự tồn tại. Như đã nói, lập luận của Bolzano về trực giác là thông qua việc giải thích cảm giác.

Điều gì xảy ra khi bạn cảm nhận một đối tượng thực sự tồn tại, ví dụ một bông hồng, là: các khía cạnh khác nhau của bông hồng, như mùi hương và màu sắc của nó, gây ra một sự thay đổi trong bạn. Sự thay đổi đó có nghĩa là trước và sau khi cảm nhận bông hồng, tâm trí bạn ở một trạng thái khác. Vì vậy, cảm giác thực chất là một sự thay đổi trong trạng thái tinh thần của bạn. Điều này liên quan đến đối tượng và ý niệm như thế nào? Bolzano giải thích rằng sự thay đổi này, trong tâm trí bạn, về cơ bản là một ý niệm đơn giản (Vorstellung), như 'mùi này' (của bông hồng cụ thể này). Ý niệm này biểu thị; nó có sự thay đổi làm đối tượng của nó. Ngoài việc đơn giản, sự thay đổi này cũng phải là duy nhất. Điều này là do theo nghĩa đen, bạn không thể có cùng một trải nghiệm hai lần, cũng như hai người, ngửi cùng một bông hồng cùng một lúc, không thể có cùng một trải nghiệm chính xác về mùi đó (mặc dù chúng sẽ khá giống nhau). Vì vậy, mỗi cảm giác đơn lẻ gây ra một ý niệm đơn lẻ (mới) duy nhất và đơn giản với một sự thay đổi cụ thể làm đối tượng của nó. Bây giờ, ý niệm này trong tâm trí bạn là một ý niệm chủ quan, nghĩa là nó ở trong bạn vào một thời điểm cụ thể. Nó có sự tồn tại. Nhưng ý niệm chủ quan này phải tương ứng với, hoặc có nội dung là, một ý niệm khách quan. Đây là nơi Bolzano đưa vào các trực giác (Anschauungen); chúng là những ý niệm đơn giản, duy nhất và khách quan tương ứng với các ý niệm chủ quan của chúng ta về những thay đổi do cảm giác gây ra. Vì vậy, đối với mỗi cảm giác đơn lẻ có thể có, có một ý niệm khách quan tương ứng. Sơ đồ hóa toàn bộ quá trình như sau: bất cứ khi nào bạn ngửi một bông hồng, mùi hương của nó gây ra một sự thay đổi trong bạn. Sự thay đổi này là đối tượng của ý niệm chủ quan của bạn về mùi cụ thể đó. Ý niệm chủ quan đó tương ứng với trực giác hay Anschauung.

Theo Bolzano, tất cả các mệnh đề đều được cấu tạo từ ba yếu tố (đơn giản hoặc phức tạp): một chủ ngữ, một vị ngữ và một hệ từ. Thay vì thuật ngữ hệ từ truyền thống hơn 'là', Bolzano thích 'có' hơn. Lý do cho điều này là 'có', không giống như 'là', có thể kết nối một thuật ngữ cụ thể, chẳng hạn như 'Socrates', với một thuật ngữ trừu tượng như 'hói đầu'. "Socrates có sự hói đầu" được Bolzano cho là tốt hơn "Socrates hói đầu" vì dạng sau ít cơ bản hơn: 'hói' bản thân nó được cấu tạo từ các yếu tố 'cái gì đó', 'mà', 'có' và 'sự hói đầu'. Bolzano cũng quy giản các mệnh đề tồn tại về dạng này: "Socrates tồn tại" sẽ đơn giản trở thành "Socrates có sự tồn tại (Dasein)".

Một vai trò quan trọng trong lý thuyết logic của Bolzano được chơi bởi khái niệm biến thể: các mối quan hệ logic khác nhau được định nghĩa theo những thay đổi về giá trị chân lý mà các mệnh đề phải chịu khi các phần phi logic của chúng được thay thế bằng những phần khác. Ví dụ, các mệnh đề phân tích logic là những mệnh đề mà tất cả các phần phi logic có thể được thay thế mà không làm thay đổi giá trị chân lý. Hai mệnh đề 'tương thích' (verträglich) đối với một trong các phần thành phần x của chúng nếu có ít nhất một thuật ngữ có thể được chèn vào mà sẽ làm cho cả hai đều đúng. Một mệnh đề Q 'có thể suy ra' (ableitbar) từ một mệnh đề P, đối với một số phần phi logic của chúng, nếu bất kỳ sự thay thế nào của các phần đó làm cho P đúng cũng làm cho Q đúng. Nếu một mệnh đề có thể suy ra từ một mệnh đề khác đối với tất cả các phần phi logic của nó, nó được cho là 'có thể suy ra logic'.

Ngoài mối quan hệ suy luận, Bolzano còn có một mối quan hệ 'nền tảng' (Abfolge) nghiêm ngặt hơn. Đây là một quan hệ bất đối xứng tồn tại giữa các mệnh đề đúng, khi một trong các mệnh đề không chỉ có thể suy ra từ, mà còn được giải thích bởi mệnh đề kia.

Về khái niệm chân lý, Bolzano phân biệt năm ý nghĩa mà các từ "đúng" và "chân lý" có trong cách sử dụng thông thường, tất cả đều được Bolzano coi là không có vấn đề. Các ý nghĩa được liệt kê theo thứ tự thích hợp:
I. Ý nghĩa khách quan trừu tượng: "Chân lý" biểu thị một thuộc tính có thể áp dụng cho một mệnh đề, chủ yếu là một mệnh đề tự thân, cụ thể là thuộc tính dựa trên đó mệnh đề diễn đạt một điều gì đó trong thực tế như đã được diễn đạt. Trái nghĩa: "sai lầm, sai trái".
II. Ý nghĩa khách quan cụ thể: (a) "Chân lý" biểu thị một mệnh đề có thuộc tính "chân lý" theo ý nghĩa khách quan trừu tượng. Trái nghĩa: (a) "sai lầm".
III. Ý nghĩa chủ quan: (a) "Chân lý" biểu thị một phán đoán đúng. Trái nghĩa: (a) "sai lầm".
IV. Ý nghĩa tập thể: "Chân lý" biểu thị một tập hợp hoặc nhiều mệnh đề hoặc phán đoán đúng (ví dụ: chân lý kinh thánh).
V. Ý nghĩa không đúng: "Đúng" biểu thị rằng một đối tượng nào đó trong thực tế là cái mà một danh xưng nào đó nói về nó. (ví dụ: Chúa thật). Trái nghĩa: "sai, không có thật, ảo tưởng".

Mối quan tâm chính của Bolzano là ý nghĩa khách quan cụ thể: với các chân lý khách quan cụ thể hoặc chân lý tự thân. Tất cả các chân lý tự thân là một loại mệnh đề tự thân. Chúng không tồn tại, tức là chúng không được định vị trong không gian thời gian như các mệnh đề được nghĩ hoặc nói. Tuy nhiên, một số mệnh đề có thuộc tính là một chân lý tự thân. Việc là một mệnh đề được nghĩ không phải là một phần của khái niệm chân lý tự thân, mặc dù trên thực tế, với sự toàn tri của Chúa, tất cả các chân lý tự thân cũng là chân lý được nghĩ. Các khái niệm 'chân lý tự thân' và 'chân lý được nghĩ' có thể hoán đổi cho nhau, vì chúng áp dụng cho cùng một đối tượng, nhưng chúng không giống hệt nhau.

Bolzano đưa ra định nghĩa chính xác về chân lý (khách quan trừu tượng): một mệnh đề là đúng nếu nó diễn đạt một điều gì đó áp dụng cho đối tượng của nó. Định nghĩa chính xác về chân lý (khách quan cụ thể) phải là: một chân lý là một mệnh đề diễn đạt một điều gì đó áp dụng cho đối tượng của nó. Định nghĩa này áp dụng cho chân lý tự thân, chứ không phải cho chân lý được nghĩ hoặc được biết, vì không có khái niệm nào trong định nghĩa này phụ thuộc vào một khái niệm về cái gì đó thuộc về tinh thần hoặc được biết.

Bolzano chứng minh trong các mục 31-32 của Wissenschaftslehre ba điều:
A. Có ít nhất một chân lý tự thân (ý nghĩa khách quan cụ thể):
:1. Không có mệnh đề đúng (giả định)
:2. 1. là một mệnh đề (hiển nhiên)
:3. 1. là đúng (giả định) và sai (do 1.)
:4. 1. là tự mâu thuẫn (do 3.)
:5. 1. là sai (do 4.)
:6. Có ít nhất một mệnh đề đúng (do 1. và 5.)

B. Có nhiều hơn một chân lý tự thân:
:7. Chỉ có một chân lý tự thân, đó là A là B (giả định)
:8. A là B là một chân lý tự thân (do 7.)
:9. Không có chân lý tự thân nào khác ngoài A là B (do 7.)
:10. 9. là một mệnh đề đúng / một chân lý tự thân (do 7.)
:11. Có hai chân lý tự thân (do 8. và 10.)
:12. Có nhiều hơn một chân lý tự thân (do 11.)

C. Có vô số chân lý tự thân:
:13. Chỉ có n chân lý tự thân, đó là A là B .... Y là Z (giả định)
:14. A là B .... Y là Z là n chân lý tự thân (do 13.)
:15. Không có chân lý nào khác ngoài A là B .... Y là Z (do 13.)
:16. 15. là một mệnh đề đúng / một chân lý tự thân (do 13.)
:17. Có n+1 chân lý tự thân (do 14. và 16.)
:18. Các bước 1 đến 5 có thể được lặp lại cho n+1, dẫn đến n+2 chân lý và cứ thế không ngừng (vì n là một biến)
:19. Có vô số chân lý tự thân (do 18.)

Một chân lý đã biết có các bộ phận (Bestandteile) là một chân lý tự thân và một phán đoán (Bolzano, Wissenschaftslehre §26). Một phán đoán là một suy nghĩ khẳng định một mệnh đề đúng. Khi phán đoán (ít nhất là khi nội dung của phán đoán là một mệnh đề đúng), ý niệm về một đối tượng được kết nối theo một cách nhất định với ý niệm về một đặc điểm (§ 23). Trong các phán đoán đúng, mối quan hệ giữa ý niệm về đối tượng và ý niệm về đặc điểm là một mối quan hệ thực tế/hiện hữu (§28).

Mỗi phán đoán có nội dung là một mệnh đề, hoặc đúng hoặc sai. Mỗi phán đoán đều tồn tại, nhưng không "vì chính nó". Các phán đoán, trái ngược với các mệnh đề tự thân, phụ thuộc vào hoạt động tinh thần chủ quan. Tuy nhiên, không phải mọi hoạt động tinh thần đều là một phán đoán; hãy nhớ rằng tất cả các phán đoán đều có nội dung là các mệnh đề, và do đó tất cả các phán đoán đều phải đúng hoặc sai. Các biểu đạt hoặc suy nghĩ đơn thuần là ví dụ về các hoạt động tinh thần không nhất thiết phải được khẳng định (behaupten), và do đó không phải là phán đoán (§ 34).

Các phán đoán có nội dung là các mệnh đề đúng có thể được gọi là nhận thức (§36). Nhận thức cũng phụ thuộc vào chủ thể, và do đó, trái ngược với chân lý tự thân, nhận thức cho phép có các cấp độ; một mệnh đề có thể được biết nhiều hơn hoặc ít hơn, nhưng nó không thể đúng nhiều hơn hoặc ít hơn. Mỗi nhận thức nhất thiết ngụ ý một phán đoán, nhưng không phải mọi phán đoán đều nhất thiết là nhận thức, bởi vì cũng có những phán đoán không đúng. Bolzano duy trì rằng không có cái gọi là nhận thức sai, chỉ có phán đoán sai (§34).

4.3. Nghịch lý của Vô hạn

Tác phẩm Paradoxien des Unendlichen (Nghịch lý của Vô hạn) của Bolzano được xuất bản sau khi ông qua đời vào năm 1851. Công trình này đã được nhiều nhà logic học lỗi lạc sau này ngưỡng mộ, bao gồm Charles Sanders Peirce, Georg Cantor và Richard Dedekind. Trong tác phẩm này, Bolzano đã khám phá sâu sắc khái niệm vô hạn và đóng góp vào sự phát triển của khái niệm vô hạn thực trong toán học.

6.1. Di sản Toán học

Phần lớn công trình toán học của Bolzano vẫn nằm dưới dạng bản thảo và do đó có rất ít lưu hành cũng như ít ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành này trong thời gian ông còn sống. Tuy nhiên, những đóng góp của ông đã được Otto Stolz tái khám phá và tái bản nhiều bài báo bị thất lạc vào năm 1881.

Ngày nay, Bolzano được nhớ đến với những đóng góp quan trọng trong việc thiết lập tính chặt chẽ cho giải tích toán học, bao gồm:

• Định nghĩa ε-δ về giới hạn toán học, một nền tảng cho giải tích hiện đại.
• Nhận thức về tính chất cận trên đúng của các số thực.
• Chứng minh thuần túy giải tích đầu tiên cho định lý giá trị trung gian (định lý Bolzano).
• Chứng minh thuần túy giải tích đầu tiên cho định lý cơ bản của đại số.
• Định lý Bolzano-Weierstrass, một định lý quan trọng trong giải tích.

Ngoài ra, tác phẩm Paradoxien des Unendlichen (1851) của ông đã đóng góp vào sự phát triển của khái niệm vô hạn thực. Georg Cantor, người sáng lập lý thuyết tập hợp, đã gọi Bolzano là "người bảo vệ quyết định" của khái niệm vô hạn thực, đánh giá cao công trình của ông.

6.2. Ảnh hưởng Triết học

Ban đầu, ảnh hưởng của tư tưởng Bolzano đối với triết học dường như không đáng kể. Ông được bao quanh bởi một nhóm bạn bè và học trò, được gọi là "Vòng tròn Bolzano", những người đã truyền bá tư tưởng của ông. Tuy nhiên, công trình của ông đã được tái khám phá bởi Edmund Husserl và Kazimierz Twardowski, cả hai đều là học trò của Franz Brentano. Thông qua họ, Bolzano đã trở thành một ảnh hưởng định hình cho cả hiện tượng học và triết học phân tích.

Alois Höfler (1853-1922), một cựu sinh viên của Franz Brentano và Alexius Meinong, người sau đó trở thành giáo sư sư phạm tại Đại học Vienna, đã tạo ra "mắt xích còn thiếu giữa Vòng tròn Vienna và truyền thống Bolzano ở Áo." Husserl, trong tác phẩm Nghiên cứu Logic của mình, đã ca ngợi Bolzano là "một trong những nhà logic học vĩ đại nhất mọi thời đại". Ngày nay, Bolzano được công nhận là một nhà logic học và toán học quan trọng trong thời kỳ hiện đại, với chủ nghĩa hiện thực logic của ông đóng vai trò quan trọng trong lịch sử triết học.

Ngoài ra, tiểu hành tinh (2622) Bolzano cũng được đặt theo tên ông.