Sophus Lie

1. Cuộc đời

Cuộc đời của Marius Sophus Lie được đánh dấu bằng quá trình học tập không ngừng, những cuộc gặp gỡ định mệnh, sự cống hiến cho khoa học và những thử thách cá nhân. Ông đã dành trọn đời mình để khám phá và xây dựng các lý thuyết toán học mang tính cách mạng, dù phải đối mặt với nhiều khó khăn.

2. Những đóng góp chính cho Toán học

Marius Sophus Lie đã có những đóng góp mang tính đột phá, hình thành nên một nhánh mới của toán học và ảnh hưởng sâu rộng đến nhiều lĩnh vực khác.

2.1. Phát triển lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie

Công cụ chính của Lie, và cũng là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của ông, là khám phá ra rằng các nhóm biến đổi liên tục (ngày nay được gọi là nhóm Lie, theo tên ông) có thể được hiểu rõ hơn bằng cách "tuyến tính hóa" chúng. Ông đã nghiên cứu các trường vectơ sinh ra tương ứng, được gọi là các phần tử sinh vô hạn nhỏ. Các phần tử sinh này tuân theo một phiên bản tuyến tính hóa của luật nhóm, được gọi là toán tử giao hoán (commutator bracket), và có cấu trúc của cái mà ngày nay được gọi là đại số Lie. Lý thuyết của ông đã mở ra một con đường mới để hiểu về đối xứng liên tục thông qua các đạo hàm vô cùng nhỏ và phép giao hoán.

2.3. Ảnh hưởng đến các nhà toán học sau này và các lĩnh vực liên quan

Công trình của Lie về lý thuyết nhóm đã được Hermann Weyl sử dụng trong các bài báo của ông vào năm 1922 và 1923. Ngày nay, nhóm Lie đóng một vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử và nhiều lĩnh vực khác của toán học và vật lý. Tuy nhiên, lĩnh vực nhóm Lie như được nghiên cứu ngày nay đã phát triển rất khác so với nghiên cứu ban đầu của Sophus Lie, và "trong số các bậc thầy của thế kỷ 19, công trình của Lie, về mặt chi tiết, chắc chắn là ít được biết đến nhất ngày nay".

Lie đã hướng dẫn nhiều nghiên cứu sinh tiến sĩ, những người sau này trở thành các nhà toán học thành công. Trong số đó có Élie Cartan, người được công nhận rộng rãi là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 20. Công trình của Kazimierz Żorawski đã chứng minh tầm quan trọng đối với nhiều lĩnh vực khác nhau, và Hans Frederick Blichfeldt cũng có những đóng góp đáng kể cho nhiều nhánh toán học.

3. Các tác phẩm chính

Marius Sophus Lie là tác giả và đồng tác giả của nhiều công trình toán học quan trọng, trong đó nổi bật nhất là bộ chuyên luận về lý thuyết nhóm biến đổi.

• Repräsentation der Imaginären der Plangeometrie (1869)
• Over en Classe geometriske Transformationer (1871)
• Theorie der Transformationsgruppen (Lý thuyết các nhóm biến đổi), được xuất bản thành ba tập:
  • Tập I (1888), được viết với sự giúp đỡ của Friedrich Engel.
  • Tập II (1890), được viết với sự giúp đỡ của Friedrich Engel.
  • Tập III (1893), được viết với sự giúp đỡ của Friedrich Engel.
• Vorlesungen über differentialgleichungen mit bekannten infinitesimalen transformationen (Các bài giảng về phương trình vi phân với các phép biến đổi vô hạn nhỏ đã biết) (1891), được viết với sự giúp đỡ của Georg Scheffers.
• Vorlesungen über continuierliche Gruppen (Các bài giảng về nhóm liên tục) (1893), được viết với sự giúp đỡ của Georg Scheffers.
• Geometrie der Berührungstransformationen (Hình học của các phép biến đổi tiếp xúc) (1896), được viết với sự giúp đỡ của Georg Scheffers.
• Gesammelte Abhandlungen (Các chuyên luận đã thu thập), 7 tập, được xuất bản từ năm 1922 đến 1960, được biên tập bởi Friedrich Engel và Poul Heegaard.

4. Tác động và Đánh giá

Marius Sophus Lie là một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của Na Uy và là nhân vật tiên phong trong lịch sử toán học. Các lý thuyết của ông về nhóm Lie và đại số Lie đã mở ra một lĩnh vực nghiên cứu hoàn toàn mới, mang lại công cụ mạnh mẽ để phân tích đối xứng liên tục trong nhiều hệ thống toán học và vật lý. Mặc dù công trình của ông ban đầu không được công nhận rộng rãi và ông phải đối mặt với nhiều thách thức cá nhân, bao gồm các vấn đề về sức khỏe tinh thần và thể chất, những ý tưởng đột phá của Lie đã trở thành nền tảng không thể thiếu cho sự phát triển của hình học vi phân, lý thuyết phương trình vi phân, và sau này là cơ học lượng tử và lý thuyết hạt cơ bản.

Ảnh hưởng của ông không chỉ dừng lại ở các khái niệm toán học thuần túy mà còn lan tỏa đến các thế hệ nhà toán học tiếp theo, những người đã phát triển và mở rộng tầm nhìn của ông. Việc ông kiên trì thúc đẩy thành lập Giải thưởng Abel cũng cho thấy tâm huyết của ông đối với cộng đồng toán học và mong muốn vinh danh những thành tựu khoa học. Sophus Lie đã để lại một di sản khoa học đồ sộ, một minh chứng cho sự kiên trì và tài năng phi thường của một người đã dám nghĩ khác và kiến tạo nên những công cụ toán học vĩ đại.

5. Xem thêm

• Đại số Lie
• Đạo hàm Lie
• Nhóm Lie
• Đối xứng liên tục
• Phương trình vi phân
• Hình học
• Felix Klein
• Niels Henrik Abel
• Giải thưởng Abel
• Hermann Weyl
• Élie Cartan
• Friedrich Engel (nhà toán học)

6. Liên kết ngoài

• [http://www.emis.de/journals/JLT/vol.9_no.1/1.html Sophus Lie: A Sketch of his Life and Work] - Bài viết của Bernd Fritzsche trên Tạp chí Lý thuyết Lie.
• [http://www.encyclopedia.com/people/science-and-technology/mathematics-biographies/marius-sophus-lie Marius Sophus Lie Biography] - Từ "Dictionary of Scientific Biography" của Hans Freudenthal.
• [https://archive.org/details/mathematiciansop0000stub The mathematician Sophus Lie: It was the audacity of my thinking] - Tác phẩm của Arild Stubhaug.
• [https://www.abelprize.no/c53679/artikkel/vis.html?tid=53709 The History of the Abel Prize] - Lịch sử Giải thưởng Abel trên trang web chính thức.
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/lie-_infinite_continuous_groups_-_i.pdf "The foundations of the theory of infinite continuous transformation groups - I"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài báo quan trọng của Lie (Phần I).
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/lie-_infinite_continuous_groups_-_ii.pdf "The foundations of the theory of infinite continuous transformation groups - II"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài báo quan trọng của Lie (Phần II).
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/lie_-_line_and_sphere_complexes.pdf "On complexes - in particular, line and sphere complexes - with applications to the theory of partial differential equations"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài báo quan trọng của Lie.
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/lie_-_contact_transformations.pdf "Foundations of an invariant theory of contact transformations"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài báo quan trọng của Lie.
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/lie_-_infinitesimal_contact_transformations_in_mechanics.pdf "The infinitesimal contact transformations of mechanics"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài báo quan trọng của Lie.
• [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/amaldi_-_results_since_the_death_of_lie.pdf U. Amaldi, "On the principal results obtained in the theory of continuous groups since the death of Sophus Lie (1898-1907)"] - Bản dịch tiếng Anh của một bài khảo sát sau khi ông qua đời.